Applicazione del teorema dei quattro colori

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Stavo leggendo il teorema dei quattro colori e mi chiedo se ci sia una sua applicazione pratica. (Non credo che separare la mappa in quattro colori diversi possa essere considerato un'applicazione.)

Ho provato a cercare su Google le applicazioni ma non sono riuscito a trovarne.

graph-theory colorings

— Computer nerd
fonte

Dato che era noto che cinque colori sono sufficienti (con una semplice prova), la vera domanda è: quale applicazione trae vantaggio dal fatto che sono sufficienti quattro anziché cinque colori.

— Yuval Filmus,

Probabilmente colorare le mappe non è un'applicazione, dal momento che il teorema non consente territori disconnessi. Ad esempio, l'Alaska, le Hawaii e gli Stati Uniti continentali devono avere tutti lo stesso colore. La possibilità di territori sconnessi significa che il grafico corrispondente a una mappa non è necessariamente planare: in effetti qualsiasi grafico con bordi può essere realizzato avendo isole in modo tale che paesi e condividano un'isola se è un bordo nel grafico. Non riesco a ricordare se la mappa del mondo attuale è a 4 colori; probabilmente lo è.

m

$m$

m

$m$

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$i$

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$j$

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$ij$

— David Richerby,

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Una delle applicazioni più importanti del Teorema dei 4 colori è negli alberi dei telefoni cellulari. Tutti questi alberi coprono determinate aree con alcune sovrapposizioni, il che significa che non possono trasmettere tutte sulla stessa frequenza. Un metodo semplice per garantire che non vi siano due alberi sovrapposti con la stessa frequenza è di assegnare a tutti una frequenza diversa. Ma, poiché il governo possiede tutte le frequenze e fa pagare per ciascuna, si vuole usare il numero minimo possibile di frequenze. Le aree coperte possono essere disegnate come una mappa e le diverse frequenze possono essere rappresentate come colori.

— Raaman Nair
fonte

In altre parole, supponendo che sia possibile trovare in modo efficiente una colorazione di quattro, è necessario prenotare in anticipo quattro frequenze anche se la posizione esatta degli alberi è sconosciuta (o addirittura potrebbe cambiare).

— Yuval Filmus,

1

È davvero vero? Non è garantito che il grafico sia planare (cinque alberi abbastanza vicini tra loro indurranno un sottografo ), quindi non è garantito che sia quadricolore.

K_{5}

$K_5$

— David Richerby,

@YuvalFilmus I grafici planari possono essere a quattro colori nel tempo quadratico: Robertson, Sanders, Seymour e Thomas, "Grafici planari a quattro colori efficienti", Proc. STOC 1996 ( PDF ).

— David Richerby,

In realtà, mi permetta di tornare e fare una dichiarazione più forte. Questo non è vero, proprio perché cinque alberi vicini si traducono in un . In realtà, questa è un'applicazione del fatto che esiste un algoritmo di tempo polinomiale per calcolare il numero cromatico dei grafici del disco dell'unità , che non sono necessariamente planari e non sono necessariamente a 4 colori.

K_{5}

$K_5$

— David Richerby,

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I problemi di colorazione del grafico sono ampiamente applicabili al problema della pianificazione.

Prendi in considerazione un'università, dove stai cercando di pianificare i tempi per tutti gli esami finali. Alcuni studenti stanno frequentando più di una lezione, quindi devi assicurarti che non abbiano in programma due esami contemporaneamente. Tuttavia, si desidera che il periodo di scrittura dell'esame sia il più breve possibile, per eseguire il maggior numero possibile di esami contemporaneamente.

Puoi rappresentarlo come un problema di colorazione del grafico: fai dove ogni classe è un vertice e un bordo tra i vertici ogni volta che due classi contengono lo stesso studente. I tuoi colori rappresenteranno diversi intervalli di tempo per gli esami. Il numero minimo con cui è possibile colorare quel grafico è il numero più piccolo di intervalli di tempo necessari per scrivere tutti gli esami. $G=(V,E)$

Il problema in generale è NP difficile, ma se avessi qualche conoscenza del tuo programma, diciamo, che era planare, allora potresti applicare il teorema a 4 colori per scrivere tutti gli esami insieme.

Non sono sicuro al 100% che avresti mai ottenuto un grafico planare in un problema di pianificazione nella vita reale, ma qui c'è una lezione più ampia: i grafici sono ampiamente applicabili a cose che non sono immediatamente ovvie. Il teorema a 4 colori non riguarda solo grafici e mappe, può essere utilizzato per modellare i problemi della vita reale in cui stai esprimendo un insieme di oggetti e alcune relazioni binarie tra tali oggetti.

— jmite
fonte

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Sembra relativamente improbabile che tu ottenga un grafico planare in un problema di pianificazione poiché, come dici tu, ciò ti permetterebbe di risolvere tutto usando solo quattro slot. (Ad esempio, nell'esempio specifico che dai, il grafico non è planare se c'è un solo studente che prende cinque lezioni.)

— David Richerby

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si grafico planare $n$ -colore per basso / fisso $n$ ha applicazioni minime, principalmente colorazione planare della mappa. però $n$ -colore per arbitrario $n$ è NP completo , è stato uno dei ^primi problemi dimostrati NP completo, quindi legato al massiccio edificio della teoria. ma in realtà anche $n$ -colore può essere ridotto a 3 colori mediante una trasformazione di base. [1] così $n$ colorazione per $n \geq 3$ NP è completo (ma non limitato ai grafici planari) . ci sono probabilmente altre riduzioni delle mappe a 4 colori e planari studiate in letteratura. vale a dire, per avere una migliore percezione del suo significato, bisognerebbe studiare le possibili riduzioni su di esso, che è un argomento complesso / avanzato / allargato.

ma un altro punto di vista è che la questione della colorazione in 4 di una mappa / grafico planare è stata per molti decenni un difficile problema aperto in matematica / informatica (in realtà oltre 1½ secolo di età , e uno dei primi problemi con grafici altamente avanzati). la matematica avanza attraverso la risoluzione di problemi irrisolti. si inserisce in un modello comune di "problemi che sono facili da stabilire ma le soluzioni / prove sono state inaccessibili per lungo tempo e sono molto complesse". questa è un'asimmetria fondamentale diffusa in matematica che mostra i limiti della leva matematica / teorica .

le tecniche che si sono rivelate efficaci possono essere applicate ad altri problemi irrisolti e talvolta aprono nuove prospettive / astrazioni teoriche / concettuali. a volte prove straordinarie sono preziose di per sé e il teorema a 4 colori si adatta a questa categoria. è una delle prove di teorema automatizzate precoci più sofisticate. ulteriori lavori sono andati a migliorare le semplificazioni leggibili dall'uomo da quando è stato scoperto e ha causato uno shock relativo attraverso la comunità teorica sul suo annuncio e ha suscitato ulteriori analisi e commenti. funge da punto di riferimento chiave / pietra miliare / caso di test per miglioramenti nella dimostrazione di teoremi automatizzati .

[1] 3 colorazioni sono NP complete

— VZN
fonte

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Probabilmente è una buona idea usare un simbolo diverso da

n

$n$ per indicare il numero di colori, da allora

n

$n$ denota spesso la cardinalità dell'insieme di vertici. Inoltre, non sappiamo come grafici planari a 3 colori in tempo polinomiale.

— Juho,