Distanza più breve tra un punto in A e un punto in B

$A$$B$$n$$A$$B$$\min \space \{\mbox{ } \text{dist}(p, q) \mbox{ } | \mbox{ } p \in A \land q \in B \space \}$

Non sono sicuro di aver ragione, ma questo problema è molto simile ai problemi che possono essere risolti dalla programmazione lineare nella geometria computazionale. Tuttavia, la riduzione a LP non è semplice. Anche il mio problema sembra correlato alla ricerca della stip più sottile tra due serie di punti che ovviamente possono essere risolti da LP in $O(n)$ nello spazio bidimensionale.

Ho una soluzione che può sembrare un po 'contorta, ma dovrebbe essere più efficiente della ricerca ingenua :$\mathcal O(n^2)$

1. lascia sia l'asse tra i centri di massa di e .A $v$$A$$B$
2. Ordinare i punti in e lungo questo asse rispettivamente in ordine decrescente e crescente, risultando nelle sequenze , , ..., e , , ..., .B a 0 a 1 a n b 0 b 1 b $A$$B$$a_0$$a_1$$a_n$$b_0$$b_1$$b_n$

Il resto è in pseudo-codice per renderlo più chiaro:

d = infinity.
for j from 1 to n
    if (b_1 - a_j) along v > d then break endif
    for k from 1 to n
        if (b_k - a_j) along v > d then
            break
        else
            d = min( d , ||b_k - a_j|| )
        endif
    enddo
enddo

Cioè, preordinando i punti lungo , puoi filtrare le coppie che non saranno mai entro una dall'altra poiché lungo sarà sempre.$v$$d$$b_k-a_j$$v$$\le \|b_k-a_j\|$

Nel caso peggiore questo è ancora , ma se e sono ben separati, dovrebbe essere molto più veloce di quello, ma non migliore di , che è richiesto per l'ordinamento.$\mathcal O(n^2)$$A$$B$$\mathcal O(n\log n)$

Aggiornare

Questa soluzione non è affatto estratta da un cappello. È un caso speciale di ciò che uso nelle simulazioni di particelle per trovare tutte le coppie interagenti di particelle con binning spaziale. Il mio lavoro che spiega il problema più generale è qui .

Per quanto riguarda il suggerimento di utilizzare un algoritmo di cambio linea modificato, sebbene intuitivamente semplice, non sono convinto che questo sia in quando si considerano insiemi disgiunti. Lo stesso vale per l'algoritmo randomizzato di Rabin.$\mathcal O(n\log n)$

Non sembra esserci molta letteratura che affronti il ​​problema della coppia più vicina in insiemi disgiunti, ma ho trovato questo , che non pretende di essere sotto , e questo , che non sembra per fare affermazioni su qualsiasi cosa.$\mathcal O(n^2)$

L'algoritmo sopra può essere visto come una variante della scansione del piano suggerita nel primo documento (Shan, Zhang e Salzberg), tuttavia invece di utilizzare l' asse e nessun ordinamento, viene utilizzato l'asse tra i set e gli insiemi vengono attraversati in ordine decrescente / crescente.$x$

È possibile adattare l' algoritmo di lineweep "coppia più vicina" che è .$O(n \log n)$

L'unica modifica che dovrai fare è ignorare le coppie che appartengono allo stesso set.

Modifica: questo in realtà non è semplice (o addirittura possibile) come ho descritto. Vedi i commenti per la discussione.

L'idea in problemi come questo è quella di creare una struttura ordinata da uno degli insiemi che consenta query efficienti sul vicino più vicino. Il classico documento che presentava una struttura di query O (log n) per dimensione arbitraria era:

Shamos e Hoey sulle soluzioni Voronoi

Da allora sono state create numerose altre partizioni spaziali basate sulle idee delle tessellazioni Delauney, che si traducono anche in una varietà di descrizioni di sweep del sottospazio. Si noti che il metodo Voronoi rientrerebbe anche in una descrizione generale di divisione e conquista a causa del suo partizionamento piano che rende la fase di costruzione O (n log n).

Quindi, la soluzione di base a questo problema è:

1. Prendi il set A e crea l'efficiente struttura di query Neighbor più vicina a tua scelta. Questa fase di costruzione è O (n log n) [vedi teorema 4].
2. Per ogni elemento in B, interrogare la struttura A per il vicino più vicino. Ogni query è O (log n) [vedi teorema 15, dimensione fissa], quindi il tempo di query totale per tutti i punti in B è O (n log n).
3. Quando il risultato per il punto più vicino in A per ogni B viene recuperato, inserirlo in una struttura ordinata sulla distanza. Questo è O (log n) inserire ogni risultato o O (n log n) per tutti.
4. Quando tutte le B sono state osservate, puoi rapidamente (O (1)) ottenere il punto B nella struttura ordinata con la distanza più vicina ad un punto in A.

Come si può vedere guardando la complessità di ogni passaggio, la complessità totale è O (n log n). Per il lettore moderno che non guarda i documenti classici, questo è trattato in molti libri sugli algoritmi, ad esempio "Il manuale di progettazione dell'algoritmo" di Skiena.

Non sono sicuro di aver ragione, ma questo problema è molto simile ai problemi che possono essere risolti dalla programmazione lineare nella geometria computazionale. Tuttavia, la riduzione a LP non è semplice. Anche il mio problema sembra legato alla ricerca della stip più sottile tra due serie di punti che ovviamente possono essere risolti da LP nello spazio bidimensionale.

Il limite inferiore per questo problema è nel modello di albero delle decisioni algebrico. Darò uno schizzo approssimativo della sua prova qui.$O(n*\log{n})$

Ridurremo l'istanza del problema di distinzione tra elementi E in C.

• Immettere in E: $S = \{a_1, a_2, a_3,...,a_n\}$
• Sia > 0 una piccola frazione$\epsilon$
• A = ,B = { ( a i + ϵ ) : 1 ≤ i ≤ n $\{(a_i,0) : 1 \leq i \leq n\}$$B = \{(a_i + \epsilon) : 1 \leq i \leq n\}$
• Ora se riusciamo a trovare la distanza più breve (d) tra gli insiemi A e B. Possiamo decidere il problema di distinzione degli elementi nel tempo aggiuntivo come segue $O(n)$
  • L'insieme ha un duplicato se e solo se d =$S$$\epsilon$

Sappiamo che il limite inferiore del runtime per decidere il problema di distinzione tra elementi è . Pertanto, per riduzione, il limite inferiore si applica anche al nostro problema.$O(n*\log{n})$