Algoritmo per trovare tutti gli orientamenti aciclici di un grafico

Sto lavorando su orientamenti aciclici di grafici non indirizzati e ho le seguenti domande:

Dato grafico semplice non collegato collegato $G$ , come trovare tutti i possibili orientamenti aciclici di $G$ ?
Qual è il numero di orientamenti aciclici? È noto (da qui ) di essere $(-1)^p\ \chi(G,-\lambda)$ per un grafico $G$ con $p$ vertici dove $\chi$ è il polinomio cromatico valutato a $-\lambda$ ; ma non sono riuscito a capire come valutare $\chi$ a un valore negativo ( $-\lambda$ ).

algorithms graph-theory counting

— seteropere
fonte

Re 2,

χ (G, \cdot)

$\chi(G,\cdot)$ è solo un polinomio. Può essere valutato in qualsiasi punto complesso. Il numero di orientamenti aciclici è

(- 1)^{p} χ (G, - 1)

$(-1)^p \chi(G,-1)$ , dove

p

$p$ è il numero di vertici. Ad esempio, il polinomio cromatico di un triangolo è

t (t - 1) (t - 2)

$t(t-1)(t-2)$ e quindi il numero di orientamenti aciclici è

(- 1)^{3} (- 1) (- 2) (- 3) = 6

$(-1)^3(-1)(-2)(-3) = 6$ (tutti

2^{3}

$2^3$ orientamenti diversi da

2

$2$ orientamenti ciclici).

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus grazie mille. quindi si tratta di valutare il polinomio di

- λ

$-\lambda$ .

— seteropere,

Come notato da Yuval, puoi contare il numero di orientamenti aciclici valutando il polinomio cromatico di un grafico in unità negativa. Per il calcolo dei polinomi cromatici, esistono alcuni algoritmi efficienti noti per alcune classi di grafici .

Esiste anche un algoritmo ricorsivo per generare tutti gli orientamenti aciclici di un grafico dato da Squire [1]. L'algoritmo richiede $O(n)$ tempo per orientamento aciclico generato. Circa 20 anni fa questo era l'algoritmo più veloce conosciuto; è possibile che ne sia noto uno più veloce ora o che sia possibile migliorare l'algoritmo di Squire con tecniche note.

[1] Squire, MB (1998). Generazione degli orientamenti aciclici di un grafico. Journal of Algorithms, 26 (2), 275-290.

— Juho
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