Tutti i generatori di numeri pseudo-casuali sono in definitiva periodici?

Tutti i generatori di numeri pseudo-casuali sono in definitiva periodici? O sono periodici alla fine?

Per periodico intendo che, come numeri razionali, alla fine generano una sottosequenza periodica ...

E pseudo-casuale significa generazione algoritmica / matematica di numeri casuali ...

Tutti i generatori pseudocasuali che non si basano sulla casualità esterna e usano una quantità limitata di memoria sono necessariamente periodici poiché hanno uno stato finito. Potete immaginarli come enormi automi finiti deterministici che hanno speciali stati di "output" in cui danno il loro output. Tutti gli automi finiti sono infine periodici e quindi tutti i generatori pseudocasuali producono alla fine output periodici.

Tuttavia, la durata del periodo può essere enorme. Ad esempio, un PRNG con uno stato crittografico di 128 bit potrebbe ciclare solo una volta ogni bit di output, e quindi anche se emette un bit ogni nanosecondo, il sistema solare sarà morto prima che il PRNG si ripeta.$2^{128}$

$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$

I PRNG sono macchine a stati. Se si basano solo sull'input interno (a differenza di Poker Stars RNG che è una combinazione di hardware e software, che si semina continuamente da ... campioni sonori) otterrai (C, S1, ...) dove C è il valore corrente (o precedente) e S1, ... potrebbe essere un insieme di stati:

Se ci sono possibili valori N (poiché la memoria è limitata) di C e ripetete N + 1 volte, colpirete lo stesso valore per C almeno due volte. Se ripetete 2N + 1 volte, colpirete lo stesso valore per C almeno 3 volte.

Sia T = (Ct, S1t, S2t) un certo stato (valore corrente e altri stati).
Sia M = # {valori per S1} X {valori per S2} X {...} sia il cardinale delle possibili combinazioni di stati (di nuovo: poiché la memoria è limitata).

Se iterate NM + 1 volte l'algoritmo, raggiungerete almeno il doppio dello stesso stato (Ct, S1t, S2t, ...), generando così lo stesso valore di uscita e la stessa sequenza di stati successiva rispetto alla prima volta, e diventando periodico.

Semplice esempio di sequenza pseudo-casuale che non è periodica: concatena insieme le rappresentazioni binarie di tutti gli interi positivi, in ordine:

110111001011101111000...

(Prepara un "." E si chiama la costante binaria di Champernowne .)

Ovviamente questa non è di altissima qualità per quanto riguarda le sequenze pseudo-casuali, ma dimostra che è possibile senza usare molta memoria.

$\pi$$\sqrt{2}$

Il requisito di memoria illimitata non è un problema per una macchina turing, e probabilmente non è nemmeno un problema in pratica, poiché la crescita è così lenta, ma dipende da cosa si intende utilizzare questa cosa.

$2^{128}$

$2^{128}$