Algoritmo per abbinare i numeri con il numero minimo di mosse

Questa è una sorta di domanda a distanza di modifica ed è molto semplice. Sono solo un cervello morto su questo argomento e non riesco a capirlo finora.

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Data una serie di numeri, ad es

[3, 1, 1, 1]

Come si trasformerebbero tutti i numeri in modo più efficiente nello stesso numero, con il numero minimo di "mosse"? Con "mossa" si intende aggiungere o rimuovere uno da un numero.

Nell'esempio sopra, le mosse più efficienti sarebbero:

[1, 1, 1, 1]

Ciò richiederebbe 2 mosse, riducendo il primo numero due volte.

Non riesco a capire il modo migliore per scoprirlo, dati array molto più grandi di centinaia di numeri.

Inizialmente ho provato a calcolare il numero medio arrotondato (somma di tutto diviso per lunghezza) e quindi a ridurli alla media calcolata, ma l'esempio sopra ha rotto questo, richiedendo 4 mosse anziché 2.

Suppongo di poter capire:

1. La media,
2. Il modo,
3. La mediana

e ottieni la distanza di modifica di ciascuno di essi, scegliendo la distanza minima. Tuttavia, non sono sicuro che ciò sia corretto in ogni singola istanza. Come posso sapere?

La risposta è prendere la mediana. Una delle proprietà della mediana è che minimizza la distanza L1 da ciascun elemento. (Per dare un senso all'articolo di Wikipedia, prendi la distribuzione di probabilità come distribuzione uniforme sulle tue serie originali di numeri).

Questo è l'algoritmo che risolve il problema (originariamente scritto da dc2 ):

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

$x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$$-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

Supponiamo inoltre che tutti siano distinti e che sia dispari. Sia la mediana di . Quindi mentre , e quindi è l'ottimale unico. Se è pari, un calcolo simile mostra che possiamo scegliere qualsiasi punto nell'intervallo che collega le mediane. Ragionamenti simili ma più elaborati mostrano che qualsiasi mediana è ottimale anche quando non sono distinti. Quindi in realtà non è necessario calcolare su tutti .$x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

Il problema può essere formulato come problema LP:

Dato un set di numeri , risolvi il seguente LP:$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

(Rimossi i vincoli su , che non erano necessari come sottolineato da Raffaello)$x$

Una volta risolto l'LP, otterrai un valore di corrispondente alla soluzione. Se è un numero intero, hai finito, altrimenti arrotondalo al numero intero più vicino.$x$$x$

EDIT : Come sottolineato nei commenti, la funzione obiettivo dovrebbe essere la somma delle differenze assolute. Per trasformarlo in un LP standard, possiamo riscrivere l'LP come:

$$\min \sum a'_i$$

soggetto a:

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

Alla soluzione ottimale, , e possiamo ottenere il valore di dalla soluzione.$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$