Il numero di diverse lingue regolari

Dato un alfabeto $\Sigma = \{ a,b \}$ , come molti diversi linguaggi regolari sono lì che può essere accettata da un $n$ -Stato automa a stati finiti non deterministico?

Ad esempio, consideriamo $n=3$ . Abbiamo quindi $2^{18}$ diverse configurazioni di transizione e $2^3$ diverse configurazioni di stato iniziale e finale, quindi abbiamo un limite superiore di $2^{24}$ lingue diverse.
Tuttavia, molti di questi saranno equivalenti e poiché i test per questo sono PSPACE-Complete, è probabilmente impossibile testare ogni impostazione.
Esistono altri mezzi o argomenti combinatori che limitano il numero di lingue diverse accettate da una determinata risorsa?

— john_leo
fonte

Esistono solo 3 diverse configurazioni dello stato iniziale, non

2^{3}

$2^3$ .

— FrankW,

Idea veloce: le lingue regolari sono caratterizzate da finitamente molte classi di equivalenza, cfr Myhill-Nerode. Quante diverse serie di classi di equivalenza può supportare un automa

n

$n$ ?

— Raffaello

Potrebbe essere utile google per l'articolo "Sul numero di lingue distinte accettate da automi finiti con n stati" di Domaratzki, Kisman e Shallit.

— Hendrik

ecco il documento citeseer url

— vzn

ho trovato quasi la stessa domanda su tcs.se: qual è il numero di lingue accettate da un DFA di dimensione n?

— vzn,

Questo è il riassunto del documento Sul numero di lingue distinte accettate dagli automi finiti con n Stati . Il documento fornisce limiti relativamente facili, ma tutt'altro che stretti, inferiori e superiori al numero di lingue distinte accettate dagli NFA. La loro discussione sul numero di DFA distinti è molto approfondita, quindi includerò anche quella parte.

L'articolo inizia con un asintotico piuttosto rigoroso per il numero di lingue distinte accettate da un DFA con stati su un alfabeto unario. Questo viene fatto osservando le condizioni in cui un dato -state unario DFA è minimo. In tali casi la descrizione dell'automa può essere mappata (biiettivamente) su una parola primitiva , e l'enumerazione di tali parole è ben nota e fatta con l'aiuto della funzione Möbius . Usando questo risultato, vengono dimostrati i limiti per gli alfabeti non unari, sia nel caso DFA che nel caso NFA. $n$ $n$

Andiamo più nel dettaglio. Per un alfabeto -letter, definisci $k$ Nota che. Iniziamo cone.

\begin{aligned} f_{K} (n) & = il numero di DFA minimi non isomorfi a coppie con n stati \\ g_{K} (n) & = il numero di lingue distinte accettate dai DFA con n stati \\ {sol}_{K} (n) & = il numero di lingue distinte accettate da NFA con n stati \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

Enumerazione dei DFA unari

Un DFAE unario con stati è minimo iff $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

È collegato. Pertanto, dopo la ridenominazione, il diagramma di transizione è costituito da un ciclo e una coda, ovvero e per alcuni . $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
Il ciclo è minimo.
Se , allora o e o e . $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

Il ciclo è minimo se la parola definita da $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ èprimitivo, il che significa che non può essere scritto nella forma per una parolae un numero intero. Il numerodi parole primitive di lunghezzasualfabetiletter è noto, vedi ad esempio Lothaire,Combinatorics on Words. Abbiamo

a_{i} = {\begin{cases} 1 if q \in F, \\ 0 if q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

dove

è il

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$ funzione di Möbius . Con l'aiuto di

il documento dimostra le formule esatte per

e lo mostra asintoticamente (Teorema 5 e Corollario 6),

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

Enumerazione dei DFA

Il passaggio successivo è un limite inferiore per . Il teorema 7 afferma che Per un set di un automa , definire come restrizione da a . $f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$
La prova funziona considerando l'insieme

S_{k, n}

$S_{k,n}$

M

$M$

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

$M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
$k-1$ $h_i : Q \to Q$ per $1 \le i < k$ e definendo $\delta(q,i) = h_i(q)$ per $1 \le i < k$ e $q \in Q$ .

L'osservazione è quindi quella $S_{n,k}$ contiene $f_1(n) n^{ (k-1)n}$ lingue diverse e minime.

Enumerazione di NFA

Per $G_1(n)$ uno ha il limite inferiore banale $2^n$ , poiché ogni sottoinsieme $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ può essere accettato da alcuni NFA con $n$ stati. Il limite inferiore è leggermente migliorato, ma la prova è piuttosto lunga.
Lo dimostra la complessità descrittiva nel caso unario di Pomerance et al $G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$ .
Proposition 10 shows that, for $k \ge 2$ we have

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$ The proof is quite short, hence I include it verbatim (more or less). For the upper bound, note that any NFA can be specified by specifying, for each pair

(q, a)

$(q,a)$ of state and symbol, which subset of

Q

$Q$ equals

δ (q, a)

$\delta(q,a)$ (hence the factor

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$ . We may assign the final states as follows: either the initial state is final or not, and since the names of the states are unimportant, we may assume the remaining final states are

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$ for

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$ . Finally, if we choose no final states, we obtain the empty language.
For the lower bound the authors proceed in a similar way as in the proof for the DFA case: Define an NFA

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$ with

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$ ,

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$ and

δ

$\delta$ :

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$ where

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$ is any set-valued function. Finally, let

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$ for any

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$ . There are

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$ such functions and

n

$n$ ways to choose the set of final states. One can then show that no two such NFA's accept the same language.

— john_leo
fonte