CLRS - Maxflow Augmented Flow Lemma 26.1 - non capisco l'uso di def. in prova

In Cormen et. al., Introduzione agli algoritmi (3a ed.), non ottengo una linea nella dimostrazione di Lemma 26.1 che afferma che il flusso aumentato$f\uparrow f'$ è un flusso in $G$ ed è st $|f\uparrow f'| =|f|+|f'|$ (questo è pp. 717-718).

La mia confusione: quando discutono di conservazione del flusso usano la definizione di$f\uparrow f'$ nella prima riga per dirlo per ciascuno $u\in V\setminus\{s,t\}$

$$\sum_{v\in V} (f\uparrow f')(u,v) = \sum_{v\in V} (f(u,v)+f'(u,v) - f'(v,u)),$$

dove viene definito il percorso aumentato come

$$(f\uparrow f')(u,v) = \begin{cases} f(u,v)+f'(u,v) - f'(v,u) & \text{if $(u,v)\in E$}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$$

Perché possono ignorare la clausola "altrimenti" nella sintesi? Non credo che la prima clausola valuti a zero in tutti questi casi. Usano la conservazione del flusso di$f$ e $f'$ in qualche modo?

Nota: le notazioni e le definizioni utilizzate di seguito sono prese in prestito dalla terza edizione del libro.

Per rispondere a questa domanda, in primo luogo, osservare che se $(u,v) \notin E$, quindi per definizione del flusso,

$$f(u,v) = f'(u,v) = (f \uparrow f')(u,v) = 0 \, .$$

Inoltre, da allora $f'(v,u) \le c_f(u,v) = f(u,v)$, si ottiene quello $f'(v,u) = 0$. Questo implica semplicemente questo$\forall (u,v) \notin E$,

$$(f \uparrow f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) - f'(v,u) = 0 \, .$$

Pertanto, la definizione di flusso aumentato può essere generalizzata per tutti $(u,v) \in V \times V$ essere come segue:

$$(f \uparrow f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) - f'(v,u) \, .$$

Il resto della prova deriva da questa osservazione che, ovviamente, non è esplicitamente spiegata nel testo.

PS Si noti che la definizione formale di flusso nella terza edizione del libro è significativamente diversa da quella della seconda edizione. In particolare, nella seconda edizione, esiste una proprietà di flusso denominata simmetria inclinata che richiede$f(u,v) = - f(v,u), \forall u,v \in V$. Questa proprietà è stata rimossa nella terza edizione a causa delle ipotesi che$(v,u) \notin E$ Se $(u,v) \in E$ e $f(v,u) = 0$ Se $(v,u) \notin E$. Per questo motivo, anche le definizioni di conservazione del flusso in due edizioni sono diverse. Molte di queste confusioni, infatti, derivano da questo cambiamento di definizione che presumibilmente è destinato a semplificare le prove, ma si è rivelato più sconcertante. Personalmente preferirei attenermi alla seconda edizione del libro per questo particolare capitolo.