Intersezione e unione di una lingua regolare e non regolare

Lascia che sia regolare, regolare, non regolare. Mostra che non è regolare o fai un controesempio. $L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

Ho provato questo: guarda . Questo è regolare. Posso costruire un automa finito per questo: è regolare, è regolare, quindi rimuovi tutti i percorsi (quantità finita) per dalla quantità finita di percorsi per . Quindi ci sono un numero limitato di percorsi lasciati per l'intera faccenda. Questa cosa è disgiunta da , ma come posso dimostrare che l'unione di (normale) e (non regolare) non è regolare? $L_1 \setminus (L_2 \cap L_1)$ $L_1$ $L_2 \cap L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \setminus (L_1 \cap L_2)$ $L_2$

formal-languages regular-languages

— Kevin
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"quindi rimuovi tutti i percorsi (quantità finita) per dalla quantità finita di percorsi per " - che cosa dovrebbe significare? Il solito modo di costruire un automa per la differenza è usare e le ben note costruzioni per complemento e intersezione.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1\cap L_2$

L_{1}

$L_1$

A ∖ B = A \cap \bar{B}

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

— Raffaello

Preferisco cambiare il titolo di questa domanda. Di per sé il titolo della domanda è un'affermazione errata.

— nitishch,

Risposte:

Possiamo dimostrarlo per contraddizione. Consente di definire . Quindi possiamo riformulare : $\overline{L_1} = \Sigma^* \setminus L_1$ $L_2$

$L_2 = ((L_1 \cup L_2) \setminus L_1) \cup (L_1 \cap L_2) = ((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$

Sappiamo:

Le lingue regolari sono chiuse sotto unione, intersezione e complemento
$\overline{L_1}$ e sono regolari $L_1 \cap L_2$
$L_2$ non è regolare

Ora supponiamo che sia regolare: Quindi è regolare (in quanto è solo un'unione / intersezione di linguaggi regolari), quindi sarebbe regolare. Questa è una contraddizione, quindi la nostra ipotesi è falsa e non può essere regolare. $L_1 \cup L_2$ $((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

— Mike B.
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Penso di averlo capito. Ma perché il complemento di una lingua normale è regolare? Non capisco quella parte.

— Kevin,

@Kevin Questo è un lemma noto, quindi dovresti trovare una prova in qualsiasi libro di testo. Un metodo di prova è quello di prendere un automa finito e scambiare gli stati accettanti e non accettanti: si ottiene un automa che riconosce il linguaggio del complemento.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

E che dire degli automi finiti non deterministici? Supponiamo di avere un autata. , uno stato iniziale, due frecce da quello stato con verso altro stato. Uno di questi stati sta accettando e uno no. Quindi . Se ora scambiamo gli stati accettanti, accetterà comunque , quindi non ritiene che accetti il linguaggio del complemento!

A = {a, b}

$A = \{a,b\}$

a

$a$

L (M) = {a}

$L(M)=\{a\}$

{a}

$\{a\}$

— Kevin,

La dimostrazione di Gilles funziona solo per automi finiti deterministici, che - per le lingue normali - non è una restrizione. Ma come ha detto, questo lemma può essere trovato in qualsiasi libro di testo.

— Mike B.

@Kevin: Mike significa che ogni linguaggio normale ha un automa deterministico per riconoscerlo in modo da poterne sempre usare uno.

— reinierpost,

-4

Questo è sbagliato. Considera , . è regolare, no; ma . $L_1 = \{a, b\}^*$ $L_2 = \{a^n b^n : n \ge 0\}$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \cup L_2 = L_1$

— vonbrand
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Non sei riuscito a soddisfare la condizione che sia regolare.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Andrej Bauer,