Numero massimo di punti che possono raggiungere due percorsi

Supponiamo che ci venga fornito un elenco di $n$ punti, di cui $x$ e $y$le coordinate sono tutte non negative. Supponiamo anche che non ci siano punti duplicati. Possiamo solo andare dal punto$(x_i, y_i)$ indicare $(x_j, y_j)$ Se $x_i \le x_j$ e $y_i \le y_j$. La domanda è: dati questi$n$punti, qual è il numero massimo di punti che possiamo raggiungere se ci è permesso disegnare due percorsi che collegano i punti usando la regola sopra? I percorsi devono iniziare dall'origine e possono contenere punti ripetuti.$(0, 0)$ ovviamente non è incluso nei punti raggiunti.

Un esempio: dato $(2, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (2, 4), (1, 5), (1, 6)$, la risposta è $8$ dal momento che possiamo prendere $(0, 0) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (2, 1) \rightarrow (2, 3) \rightarrow (2, 4)$ e $(0, 0) \rightarrow (1, 2) \rightarrow (1, 3) \rightarrow (1, 5) \rightarrow (1, 6)$.

Se ci è permesso tracciare solo un percorso, posso facilmente risolvere la domanda programmando dinamicamente $O(n^2)$. Prima di tutto ordina i punti diminuendo$x_i+y_i$. Permettere$D[i]$ essere il numero massimo di monete che si possono prelevare dalle monete $1$ per $i$nell'elenco ordinato. Poi$D[1] = 1$ e $D[i] = \max\limits_{1\le j < i, x_j \le x_i, y_j \le y_i} D[j] + 1$. La risposta quindi è solo .$\max\limits_{1\le i \le n} D[i] + 1$

Ma non riesco a trovare una relazione di ricorrenza per due percorsi. Se qualcuno ha qualche idea su una simile relazione di ricorrenza, sarei felice di sapere cosa sono.

Il problema, ribadito e generalizzato: dato un set finito dotato di un ordine parziale , trova catene massimizzano . La domanda riguarda il caso in cui e .$S$ $\le$$C_1, C_2 \subseteq S$$\lvert C_1 \cup C_2 \rvert$$S \subseteq \mathbb R_+^2$$(x, y) \le (z, w) \Longleftrightarrow x \le z \wedge y \le w$

Ingenuamente, si potrebbe provare a trovare la singola catena migliore in , dove la migliore è misurata da quanti valori distinti hanno i componenti della catena. Sfortunatamente, un componente può ripercorrere i passaggi dell'altro, ad esempio, quindi questa nozione di best non ha una sottostruttura ottimale.$S^2$

Invece, cerchiamo le catene nell'insieme . Richiedendo che i componenti siano uguali o incomparabili, evitiamo di rintracciarli, ma ora dobbiamo sostenere che alcune migliori catene sono conformi al nuovo requisito.$T := \{(x, y) \mid (x, y) \in S^2 \wedge x \nless y \wedge y \nless x\}$

Lemma 1 (nessuna traccia). Lascia che sia una catena e definisci e . Per tutti , abbiamo se e solo se .$C \subseteq T$$C_1 := \{x \mid (x, y) \in C\}$$C_2 := \{y \mid (x, y) \in C\}$$z \in S$$z \in C_1 \cap C_2$$(z, z) \in C$

Prova. La direzione if è banale. Nel solo se direzione, per tutti , esistono tale che . Poiché è una catena, . Supponiamo simmetricamente che , che implica che . Sappiamo dalla definizione di che , quindi , e .$z \in C_1 \cap C_2$$x, y \in S$$(x, z), (z, y) \in C$$C$$(x, z) \le (z, y) \vee (z, y) \le (x, z)$$(x, z) \le (z, y)$$x \le z \le y$$T$$x \nless z \wedge z \nless y$$x = z = y$$(z, z) \in C$

Lemma 2 (esistenza della migliore catena limitata). Per tutte le catene , esiste una catena tale che e .$C_1, C_2 \subseteq S$$C \subseteq T$$C_1 \subseteq \{x \mid (x, y) \in C\} \subseteq C_1 \cup C_2$$C_2 \subseteq \{y \mid (x, y) \in C\} \subseteq C_1 \cup C_2$

Prova (rivista). Diamo un algoritmo per la costruzione di . Per comodità, definire sentinelle in modo tale che per tutti . Consenti a e .$C$$\bot, \top$$\bot < x < \top$$x \in S$$C_1' := C_1 \cup \{\top\}$$C_2' := C_2 \cup \{\top\}$

1. Inizializza e e . Un invariante è che .$C := \varnothing$$x := \bot$$y := \bot$$x \nless y \wedge y \nless x$

2. Sia l'elemento successivo di , ovvero . Sia l'elemento successivo di , ovvero .$x'$$C_1$$x' := \inf \{z \mid z \in C_1' \wedge x < z\}$$y'$$C_2$$y' := \inf \{w \mid w \in C_2' \wedge y < w\}$

3. Se , imposta e vai al passaggio 9.$x' \nless y' \wedge y' \nless x'$$(x, y) := (x', y')$

4. Se , imposta e vai al passaggio 9.$y < x' < y'$$(x, y) := (x', x')$

5. Se , imposta e vai al passaggio 9. Nota che implica che .$y \nless x' < y'$$x := x'$$x < x' \wedge x \nless y$$x' \nless y$

6. Se , imposta e vai al passaggio 9.$x < y' < x'$$(x, y) := (y', y')$

7. Se , imposta e vai al passaggio 9. Nota che implica che .$x \nless y' < x'$$y := y'$$y < y' \wedge y \nless x$$y' \nless x$

8. Questo passaggio non viene mai raggiunto, poiché le condizioni per i passaggi 3-7 sono esaustive.

9. Se (equivalentemente, ), imposta e vai al passaggio 2.$x \ne \top$$y \ne \top$$C := C \cup \{(x, y)\}$

Programma dinamico. Per tutti , calcola dove se è vero e se è falso. Di Lemma 1, ne consegue che le espressioni parentesi contano correttamente il numero di nuovi elementi. Con Lemma 2, viene trovata la soluzione ottimale al problema originale.$(x, y) \in T$

Consenti a di ordinare l'elenco dei punti.$P = p_1\dots p_n$

Seguendo la tua ricorrenza per un percorso, la prima cosa da notare è che devi tenere traccia di quali punti sono stati visitati dai percorsi; altrimenti non puoi contare correttamente. La seconda cosa è che ora hai quattro possibilità per ogni punto: nessuno dei due percorsi può usarlo, uno di essi o entrambi. Quindi, dobbiamo trovare combinazioni massimizzanti per tutti e tre i casi.

Formalmente, con la coppia di (insiemi di) nodi visitati dei due percorsi che massimizzano il numero di punti visitati dall'ingresso impostato per la esima, con il primo componente della coppia massimizzazione dei percorsi per i quali il primo usa , il secondo componente simile per il secondo percorso ed il terzo componente sia percorsi usando . è dato dalla ricorrenza$d : [0\dots n] \to (2^{[n]} \times 2^{[n]})^3$$d(i)$$i$$p_i$$p_i$$d$

$\quad \displaystyle \begin{align} d(0) &= ((\emptyset, \emptyset),(\emptyset, \emptyset),(\emptyset, \emptyset)) \\ d(i) &= (\ \arg\max_{(L,R) \in (\mathcal{L}' \times \mathcal{R})_i} |L \cup R|, \\ &\phantom{= (\ } \arg\max_{(L,R) \in (\mathcal{L} \times \mathcal{R}')_i} |L \cup R|, \\ &\phantom{= (\ } \arg\max_{(L,R) \in (\mathcal{L}' \times \mathcal{R}')_i} |L \cup R| \ ) \\ \end{align}$

con

$\quad \displaystyle (\mathcal{L}' \times \mathcal{R})_i = \left\{ (L \cup \{i\}, R) \mid (L,R) \in \bigcup_{j=0}^{i-1} d(j), x_i \geq \max_{j \in L} x_j, y_i \geq \max_{j \in L} y_j \right\}$ ,

$(\mathcal{L}' \times \mathcal{R})_i$ simile con estendentesi e simile con l'estensione sia e .$R$$(\mathcal{L}' \times \mathcal{R}')_i$$L$$R$

Inutile dire che questo non è molto bello. Questo perché il problema non si presta molto bene alla programmazione dinamica: non è possibile combinare molte soluzioni parziali perché non esiste un buon ordinamento totale sui punti e non è possibile scartare risultati intermedi per lo stesso motivo.

Una visione migliore del problema è quella di modellare l'insieme di punti come grafico aciclico diretto ponderato con$G = (V, E, w)$

• $V = \{(0,0), p_1, \dots, p_n, (X,Y)\}$ con , e$X = \max x_i$$Y = \max y_i$
• $E = \{ ((x_1, y_1),(x_2,y_2)) \in V^2 \mid x_i \leq x_j, y_i \leq y_j\}$ e
• $w(v_1,v_2) = \begin{cases} 0 &, v_2 = (X,Y) \\ 1 &, \text{ else}\end{cases}$ .

Si noti che è possibile mantenere il grafico più piccolo se si rimuovono i bordi ridondanti, vale a dire rimuovere se esiste un percorso , poiché prendere tali "scorciatoie" non è mai meglio vantaggioso.$(v_1,v_2)$$(v_1,\dots,v_2)$

Per un percorso, la soluzione è chiaramente la lunghezza del percorso più lungo da a . Ora, se cambiamo modo che anche tutti i bordi che portano ai punti su abbiano peso e calcoliamo il percorso più lungo in questo grafico modificato, otteniamo un percorso modo che e coprano insieme come molti punti come possono fare due percorsi. Questo ci lascia con un runtime in (vedi qui ).$P^*$$(0,0)$$(X,Y)$$w$$P^*$$0$$P^+$$P^*$$P^+$$O(|V| + |E|) \subseteq O(n^2)$