Come posso trovare il numero minimo richiesto per aggiungere alla sequenza in modo tale che il loro xor diventi zero

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Data una sequenza di numeri naturali, è possibile aggiungere qualsiasi numero naturale a qualsiasi numero nella sequenza in modo tale che il loro xor diventi zero. Il mio obiettivo è ridurre al minimo la somma dei numeri aggiunti.

Considera i seguenti esempi:

Per la risposta è ; aggiungendo a otteniamo . $1, 3$ $2$ $2$ $1$ $3 \oplus 3=0$
Per la risposta è ; aggiungendo da a e da a otteniamo . $10, 4, 5, 1$ $6$ $3$ $10$ $3$ $5$ $13 \oplus 4 \oplus 8 \oplus 1 = 0$
Per la risposta è , poiché . $4, 4$ $0$ $4 \oplus 4 = 0$

Ho provato a lavorare su rappresentazioni binarie del numero progressivo ma è diventato così complesso. Voglio sapere se esiste un modo semplice ed efficace per risolvere questo problema.

algorithms integers xor

— Pravin Gadakh
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Una dichiarazione più chiara dello stesso problema da un poster diverso su math.SE può essere trovata qui , insieme a un'altra risposta.

— Dilip Sarwate,

Problema interessante. Sembra un problema di somma dei sottoinsiemi in cui l'operatore di somma viene sostituito con XOR e tale che (se il sottoinsieme non fa XOR su 0) l'insieme è esso stesso XORed con un altro insieme ...

(s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n})

$(s_1,s_2,\ldots,s_n)$

{0, 1}^{n} \cdot (k, k, \dots, k)

$\{0,1\}^n \cdot (k,k,\ldots,k)$

— user13675

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Mi sembra che contenga tutte le informazioni necessarie: i bit in sono i bit necessari per inserire (esattamente) uno dei . Poiché ti è consentito solo aggiungere , devi trovare uno dove il bit corrispondente è e capovolgerlo - questo provoca lo stesso costo per tutti , cioè , quindi la scelta non ha importanza. I problemi iniziano se non esiste tale . $a = a_i \oplus \dots \oplus a_n$ $1$ $a$ $a_i$ $a_i$ $j$ $0$ $a_i$ $2^j$ $a_i$

Questo è il motivo per cui devi farlo iterativamente e lavorare dal minimo significativo verso l'alto. Procedere come sopra; se non vi è adatto , scegliere con il numero massimo di bit rimasto della posizione corrente - ciò aumenta la possibilità di trovare un candidato adatto in iterazioni future -, capovolgere il bit e riporto, ovvero capovolgere tutto quelli a sinistra fino a quando non capovolgi uno zero su uno. Nota che aggiungiamo ancora ). Poiché il carry si propaga solo a sinistra, le scelte precedenti non vengono invalidate. Ricalcola e continua con ; iterare fino a quando non si ha . $a_i$ $a_i$ $1$ $2^j$ $a$ $j+1$ $a=0$

Si noti che questo è solo un euristico per quanto posso dire: la scelta può essere ottimale se causa molti bit in a diventare non-zero. Non sono sicuro che questo possa essere evitato. $i$ $a$

— Raffaello
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In realtà non ho una soluzione, ma ecco alcune idee che sono venute fuori.

Se guardi i risultati di XORing di tutti i numeri nella sequenza, questo dà un limite superiore al numero di aggiunte che devi fare. Ad esempio, nel tuo esempio di , abbiamo , quindi sai che non devi aggiungere più di (perché l'8-bit è il più alto set). Distribuire fino a otto "uno" distribuito in quattro modi, è un insieme abbastanza piccolo di combinazioni. Non riesco a ricordare quella formula a tarda notte, ma c'è unalì da qualche parte. $10, 4, 5, 1$ $10 \oplus 4 \oplus 5 \oplus 1 = 10$ $8$ $n!$

Per dare a questa affermazione un po 'più di messa a terra, considera interi arbitrari tali che . I bit più alti del bit 3 ovviamente si annullano tutti, quindi puoi ignorarli. Per i quattro bit inferiori, vanno da XOR a 8, quindi il caso peggiore possibile (in termini di numero di quelli che è necessario aggiungere) è se e (tutti gli zero tranne il bit più alto) perché è necessario aggiungere +8 a B per ottenere quel bit superiore impostato. Se ci sono eventuali uno bit impostati in uno dei numeri, è necessario aggiungere meno. $A,B$ $A \oplus B = 8$ $A=8$ $B=0$

Forse puoi iniziare da questo e sviluppare una quantità massima più stretta da aggiungere.

— Mark Bessey
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