Esiste una connessione tra il problema dell'arresto e l'entropia termodinamica?


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Alan Turing ha proposto un modello per una macchina (la Turing Machine, TM) che calcola (numeri, funzioni, ecc.) E ha dimostrato il Teorema di Halting .

Una TM è un concetto astratto di una macchina (o motore se vuoi). Il teorema di Halting è un risultato impossibile. Un Carnot Engine (CE) è un concetto astratto di un motore termico e Carnot ha dimostrato il Teorema di Carnot , un altro risultato di impossibilità legato all'entropia termodinamica.

Dato che una MT è fisicamente realizzabile (almeno quanto una CE, o forse no?) Esiste una mappatura o rappresentazione o "isomorfismo" della TM o CE che potrebbe consentire di unificare questi risultati e inoltre connettersi all'entropia?

Esistono naturalmente formulazioni di TM e del Teorema di Halting in termini di teoria algoritmica dell'informazione (ad esempio Chaitin, Kolmogorov ecc.) Ed entropia (in quel contesto). La domanda richiede il concetto più fisico di entropia (se nel processo di una potenziale risposta si pone l'entropia algoritmica va bene, ma non è esattamente quello che la domanda pone).

Si può anche verificare un'altra domanda in Physics.se che mette in relazione l'incertezza quantistica con la seconda legge della termodinamica. Vedi anche: una caratterizzazione algebrica dell'entropia , una caratterizzazione algoritmica dell'entropia , una revisione e connessioni tra varie formulazioni di entropia


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c'è un senso in cui i concetti delineati sono esattamente opposti . le leggi teormodinamiche sull'ascesa dell'entropia escludono una macchina a moto perpetuo . una macchina non inalatoria è una macchina a moto perpetuo .
vzn,

sì, vedo, ri-lanciando la condizione di non-arresto come un perpetuum mobile (del 2o tipo?), questo è esattamente nello spirito della domanda, ma è questo che dice il teorema di arresto? Afferma che non sappiamo se si ferma o no, a causa della "circolarità", bello
Nikos M.

Una proposta per aggiungere "termodinamica" e / o "termodinamica-computazione" come nuovi tag in CS.se? non sono sicuro di poterlo fare da solo (probabilmente), ma sentiamo altre opinioni
Nikos M.

Risposte:


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Non sono affatto un esperto in questo settore, ma credo che sarai interessato al calcolo reversibile . Ciò comporta, tra l'altro, lo studio della relazione tra processi fisicamente reversibili e processi logicamente reversibili. Penso che sarebbe giusto dire che i "fondatori" del settore erano / sono Ralph Landauer e Charles H Bennett (credo entrambi della ricerca IBM).

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Molte persone che studiano in quest'area stanno anche lavorando sull'informatica quantistica e sulla fisica digitale (l'idea che l'universo sia un grande automa cellulare quantistico). I nomi dei ricercatori che vengono in mente sono Ed Fredkin , Tommaso Toffoli e Norm Margolus .

Queste domande sono assolutamente in tema di informatica. Non solo per la teoria (che include la matematica fredda e la fisica fredda) ma per gli ingegneri che vogliono conoscere i limiti massimi del calcolo. C'è un volume minimo o energia necessaria per memorizzare un po 'di informazioni? L' azione richiesta per eseguire un calcolo reversibile può essere costante, ma ci sono limiti su quale sia quella costante? Queste sono conoscenze fondamentali per gli ingegneri che cercano di spingere i confini di ciò che è possibile.


Sì, c'è una relazione con la Termodinamica del calcolo (Bennett, Landauer et al.), Ma chiedendo di più in relazione al Teorema di Halting e / o mappatura tra TM e CE (come in questione), ma bella risposta
Nikos M.

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Ah, hai ragione. Sto sottovalutando la mia risposta. I commenti sotto la tua domanda che dicevano che era fuori tema mi fecero vedere in rosso, e io rispondevo principalmente a quello. In risposta alla tua vera domanda: guarda la tesi di Church-Turing. Supponendo che tu creda che e anche che la matematica possa modellare qualsiasi cosa in natura, allora il problema di Halting è un teorema di impossibilità fisica.
Wandering Logic,

Penso che la tesi di Church-Turing che computazione fisica è efficace potrebbe essere necessario il calcolo infatti, dare un'occhiata a questo documento anche
Nikos M.

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Non ho familiarità con il Teorema di Carnot, tranne quello che ho appena letto in Wikipedia, ma anche da quella introduzione in breve, c'è una connessione nella struttura delle prove, e potrebbe essere interessante per te, in quanto è una tecnica di prova questo è applicabile in molti domini.

Sono entrambe prove per contraddizione in cui dimostrare che nessuna cosa in una data classe ha delle proprietà, si suppone che in qualche istanza effettivamente ci sia quella proprietà, e quindi si mostra che segue una contraddizione.

Il problema di Halting è interessante in quanto la contraddizione deriva da qualche autointerazione relativa alla particolare istanza (che è una macchina M che può determinare se una macchina arbitraria si fermerà con un dato input). In particolare, si costruisce una nuova macchina che include M come componente e quindi si alimenta la nuova macchina a M.

Qualcuno con maggiori conoscenze sul teorema di Carnot potrebbe approfondirlo (cosa che non sono qualificato a fare), ma sembra che la contraddizione derivi dal tipo di motore termico che potresti costruire se avessi un'istanza con la proprietà a portata di mano.

Quindi entrambi i casi prevedono la costruzione di:

  • Supponiamo che alcune X abbiano la proprietà P.
    • Da X, crea Y correlato.
    • Le relazioni tra X e Y sono contraddittorie.
  • Pertanto, nessuna X ha proprietà P.

Sembra tuttavia che ci sia una differenza nel fatto che la contraddizione nel caso del Teorema di Halting è una pura contraddizione logica e sarebbe contraddittoria in qualsiasi contesto della logica classica. Il teorema di Carnot, a quanto ho capito, è solo contraddittorio rispetto alla seconda legge della termodinamica. Da una prospettiva logica, questo è un assioma, quindi se prendessi una diversa assiomatizzazione in cui la seconda legge della termodinamica non regge, il Teorema di Carnot non sarebbe un teorema, perché la contraddizione non esisterebbe. (Quale sarebbe una formalizzazione della termodinamica senza la seconda legge è il tipo di domanda che ha portato i geometri alla geometria non euclidea).


questo documento fornisce molto nella direzione che dici, imo. Anche ciò che ritengo molto rilevante è la circolarità (o diagonalizzazione) degli argomenti. Esistono direzioni di ricerca che collegano trasformazioni logiche irreversibili con processi termodinamici irreversibili (ad es. Principio di Landauers e obiezioni). Vi sono obiezioni ad alcune affermazioni della 2a Legge, ma si possono trovare formulazioni ancora valide (ad esempio il lavoro di Prigogine)
Nikos M.

Per come questa connessione potrebbe avvenire, vedi anche i commenti sulla risposta precedente (solo a fini di plausibilità)
Nikos M.

Per quanto riguarda le altre formulazioni della 2a Legge (anche più generali e per i processi di non equilibrio) è possibile controllare l'affermazione di Caratheodory in termini di Spazio di fase e Geometria, il Lavoro di Prigogin sui sistemi di non equilibrio e la formulazione di Hatzopoulos-Gyftopoulos-Beretta (con ulteriori collegamenti a meccanica quantistica)
Nikos M.

In un certo senso c'è così tante sfaccettature di entropia in quanto vi sono aspetti della teorema di Goedel (s) (come nel teorema arresto di Turing, il teorema indefinibilità di Tarski , il teorema di Rosser , incompletezza teorema di Chaitin ), c'è anche una prova categoria-teorico di una "generale Teorema di Goedel "che comprende tutti i precedenti basati su punti fissi
Nikos M.

Anche se una connessione tra l'arresto del problema e l'entropia termodinamica viene raggiunta sotto forma di if e quando la 2md Law vale allora ... , è ancora buona come questa domanda (legata all'obiezione che la 2nd Law potrebbe essere come la 5 ° postulato sui parallelismi nella geometria euclidea)
Nikos M.,

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IANFisico ma non vedo alcuna connessione. Le macchine di Turing sono oggetti di pura matematica e l'indecidibilità del problema di arresto è indipendente da qualsiasi realizzazione fisica di qualcosa.


2a legge I risultati di impossibilità hanno molto in comune con i problemi logici (matematici) e le circolarità, forse una connessione lì?
Nikos M.,

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Dovresti fornire maggiori dettagli: come ho detto, non sono un fisico. Ma non vedo come le leggi fisiche possano avere alcun impatto su un costrutto che esiste indipendentemente dalla realtà fisica.
David Richerby,

hai un punto lì, posso dare molte ragioni epistemologiche per cui questo è molto plausibile (ad esempio la matematica che dipendiamo dal mondo in cui viviamo , a-la Einstein), ma voglio qualcosa di più, se avessi una risposta pronta probabilmente pubblicherà un articolo :)
Nikos M.,

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@vzn Usiamo la parola "tempo" per il numero di passi che la macchina ha eseguito e "spazio" per il numero di celle a nastro che ha usato ma quelle parole sono state scelte per fare appello alla nostra intuizione fisica come esseri fisici. Ma il "tempo" è solo un indice in una sequenza di confessioni e lo spazio è solo un indice in una sequenza di simboli. Ad esempio, considera una macchina di Turing in cui la testa gira appena a destra. Usa infinito "tempo" e infinito "spazio", ma puoi capirlo in una quantità finita di tempo reale e spazio reale
David Richerby,

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Certo, ma il fatto che consideriamo le macchine di Turing come oggetti interessanti potrebbe avere a che fare con la fisica.
Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'

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questa diversa domanda a più argomenti unf non ha una risposta semplice / facile e tocca aree attive della ricerca TCS. tuttavia è una domanda rara che mi chiede un legame tra fisica e TCS che mi ha interessato nel corso degli anni. ci sono alcune direzioni diverse per andare su questo. la risposta di base è che si tratta di una "domanda aperta", ma con alcune ricerche attive / moderne che la toccano e suggeriscono connessioni.

  • ci sono alcuni problemi sorprendenti / profondi indecidibili dalla fisica avanzata. ad esempio da sistemi dinamici. tuttavia, non l'ho visto collegato all'entropia in sé, ma l'entropia è associata a tutti i sistemi fisici (ad esempio, si può vedere questo nella teoria chimica), quindi deve esserci almeno un collegamento indiretto.

  • l'entropia si presenta davvero in CS ma più sotto forma di teoria dell'informazione e teoria dei codici. la nascita della teoria dei codici ha comportato la definizione / analisi dell'entropia associata ai codici di comunicazione di Shannon. prova questa fantastica teoria di entropia e informazione online di Gray

  • l'entropia è anche talvolta associata alla misurazione della casualità nei PRNG. esiste una connessione tra le separazioni delle classi di complessità (es. P =? NP) e le PRNG nel famoso documento "Prove naturali" di Razborov / Rudich. ci sono continue ricerche su questo argomento.

  • citi la termodinamica e la sua connessione con TCS. esiste una profonda connessione tra magnetizzazione negli occhiali di spin in fisica e NP problemi completi studiati nel punto di transizione SAT. lì (di nuovo) il sistema fisico ha un'entropia associata ma probabilmente è stato studiato più in un contesto fisico che in un contesto TCS.



vedi anche CS defn di entropia StackOverflow
VZN

è interessante essere in grado di pensare "fuori dagli schemi" (almeno a volte), hai esaminato il lavoro di Bennet sulla termodinamica del calcolo? La motivazione alla base della domanda è mostrare se il teorema di arresto può essere visto come una conseguenza della termodinamica (con qualche modello o rappresentazione appropriati almeno per alcuni casi). penso che sarebbe davvero interessante se questo potesse essere risolto in entrambi i modi
Nikos M.


La maggior parte dei concetti di "entropia" usati nell'informatica si riferiscono alla teoria dell'informazione di Shannon o alla teoria dell'informazione algoritmica di Kolmogorov / Chaitin / Solomonov, questo è già menzionato nella domanda ed è molto importante. Le uniche connessioni all'entropia termodinamica che conosco (che può essere correlata all'entropia infettiva) sono la termodinamica del calcolo. La domanda è collegata alla termodinamica del calcolo, ma in un altro modo
Nikos M.,

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C'è un semplice problema di pensiero che a volte viene usato come introduzione ai paradigmi informatici non convenzionali:

Hai due lampadine e i rispettivi interruttori on-off. Qualcuno apre e chiude entrambe le luci una dopo l'altra. Come si determina quale è stato chiuso per primo e quale è stato chiuso per ultimo? Determina il numero minimo di volte che dovrai aprire le luci per decidere questo problema.

La maggior parte degli informatici di solito cerca di trovare una soluzione booleana basata sulla logica. La risposta è (almeno una di esse): toccando le lampadine e vedendo quale è più caldo.

Nell'informatica esistono paradigmi basati sul calore: la ricottura simulata è un algoritmo noto (il computer quantistico delle onde D è la controparte quantistica dell'algoritmo).

Ora c'è una relazione con il problema di Halting?

Il classico lavoro di Chaitin e Calude sul problema di Halting attraverso il concetto di numeri Omega può essere collegato alla formulazione probabilistica del problema di Halting. È il trattato più recente sul problema che mi viene in mente ... e nessuna relazione chiara con l'entropia (termodinamica). Ora, se l'entropia dell'informazione (nel senso di Shannon) è buona con te, il numero Omega codifica nel modo più succinto il problema di Halting, nel senso di Shannon legato.

In breve, un numero Omega è la probabilità che un programma casuale si arresti. Conoscere la costante consentirebbe l'enumerazione di tutte le affermazioni matematiche valide (verità, assiomi, ecc.) Ed è incontestabile. Calude calcolò una versione di Omega cambiando la misura di probabilità uniforme con una misura inversamente proporzionale alla lunghezza di un programma casuale e usando codifiche prive di prefissi, quindi potremmo parlare di Omega di Chaitin e Omega di Calude.


Bella risposta, la parte relativa al calore delle lampadine viene utilizzata molte volte come collegamento tra entropia dell'informazione ed entropia termodinamica (è un senso contrario alla visione di Jaynes come incertezza soggettiva). la mia linea di pensiero sarebbe quella di basare il ragionamento sulla circolarità di entrambi i costrutti e da una cascata (intelligente?) l'una con l'altra creare un'implicazione (almeno in un modo)
Nikos M.

Un ragionamento simile viene usato con le batterie (anziché con le lampadine) per determinare quali batterie sono scariche ...
Nikos M.

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Sì !, stranamente ci ho pensato ... Ecco l'idea:

Primo passo

Modella il Demone di Maxwell come un programma per computer. Quindi, come fa il Demone a conoscere la velocità e la posizione delle particelle prima di aprire la porta per la selezione?

Supponiamo che il demone non possa misurare la velocità con cui le particelle colpiscono la porta, perché? perché ciò cambierebbe la velocità delle particelle, quindi il demone deve capire prima di aprirlo, senza guardare, senza misurare. Per essere onesti, faremo in modo che il demone conosca in anticipo le regole del gioco, cioè alimentiamo il demone con leggi di movimento, interazioni di particelle e condizioni iniziali, abbastanza del modello fisico / dinamico.

Secondo passo

Ora modella il gas delle particelle anche come un programma per computer che esegue lo stesso codice dato al demone per ogni particella, quindi il gas sta calcolando un risultato dalle sue condizioni iniziali, il Demone non conosce quel risultato fino a quando non si ferma (se mai ): vale a dire "una particella con la giusta velocità è alla porta", la decisione sì / no che stiamo ponendo al sistema è "Hai una particella nella posizione giusta e una velocità sufficiente?", in tal caso, la porta potrebbe essere aperta e la particella veloce può andare nel lato ad alta temperatura della stanza impostando nuove condizioni iniziali (quei problemi consecutivi avranno una risposta? o funzioneranno per sempre?)

Ci sarà un tempo in cui non vi sarà alcuna particella con una velocità sufficiente per attraversare il confine, quindi ci sarà un tempo in cui il codice verrà eseguito per sempre (non arrestarsi) per quasi una determinata soglia.

Il demone vuole conoscere il risultato che viene calcolato dal gas, ma il risultato è in un certo senso coinvolto potenzialmente nel codice sorgente delle leggi della particella più le condizioni iniziali .. ovviamente dobbiamo eseguire quel programma per conoscerlo. Se il Demone esegue lo stesso programma in attesa della giusta velocità all'uscita, il programma potrebbe arrestarsi o potrebbe funzionare per sempre (ma supponiamo anche che il demone non abbia più potenza computazionale del gas, quindi non sarà in grado di decidere il apertura della porta in tempo).

Daemon potrebbe provare a capire l'output del programma (o se si fermerà) guardando la sorgente e gli input senza eseguirlo, ma è come cercare di risolvere il problema di Halting, perché? perché il Demone non sa quali leggi e condizioni iniziali saranno alimentate, quindi il Demone dovrebbe essere pronto a risolvere qualsiasi insieme di leggi e condizioni iniziali, e sappiamo che non è possibile in generale, avrà bisogno di un oracolo, se potesse basti a costruire un demone per generare energia dal nulla. (anche conoscendo le leggi e le condizioni iniziali, entrambe le cose sono già abbastanza difficili da sapere)

Questo esperimento mentale può collegare come una riduzione dell'entropia, per mezzo dei computer, potrebbe in qualche modo delimitata da Halting Problem , come un problema per anticipare in generale i risultati.

(A volte tutti i limiti sembrano essere lo stesso limite ..)

Maggiori informazioni sulle leggi sulle particelle

Le leggi sulle particelle non sono il problema principale di questo esperimento mentale, quelle leggi potrebbero essere quantistiche o classiche, ma dobbiamo tenere conto del fatto della complessità delle leggi e delle condizioni iniziali, la complessità della disposizione delle particelle non è limitata e potrebbe avere molta complessità aggiunta (in un esempio estremo di condizioni iniziali potresti persino inserire un intero computer che spara particelle secondo un codice sorgente interno e dare quel codice al demone).


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Non capisco il collegamento al problema di arresto. Innanzitutto, sembra che tu abbia ridefinito il significato di arresto di una macchina. Secondo, sembra che tu abbia un solo programma (il simulatore di particelle di gas). È perfettamente possibile dimostrare che un programma fisso si ferma o non si arresta, senza violare l'indecidibilità del problema generale di arresto.
David Richerby,

A proposito di stop, non ha ridefinito l'arresto, qui l'arresto del programma è, come sempre, quando il programma termina il calcolo e si ottiene un output, quindi qui l'output è definito come il momento esatto in cui una particella con la giusta velocità ha colpito la porta e potresti costruire una porta che lo rilevi, in modo che segnerà quando il programma si arresta (quindi il programma si riavvia da queste condizioni iniziali per un altro output). Il demone vuole sapere quando si fermerà, ma non può sapere anche se si fermerà.
Hernan_eche,

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Le macchine di Turing non possono decidere il problema di arresto per le macchine di Turing. Sembra che tu abbia ridefinito il problema dell'arresto come "Una di queste molecole di gas fa mai X?", Che è un problema completamente diverso da "Questa macchina di Turing si ferma quando inizia con questo input?" La prova di Turing dell'indecidibilità del problema di arresto della macchina di Turing non dice nulla sul fatto che una macchina di Turing possa calcolare se una molecola di gas potrà mai fare X.
David Richerby,

Il commento di David è corretto, così come è, non è direttamente correlato al problema di arresto. Tuttavia è un argomento che segue lo spirito della domanda
Nikos M.

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@Gilles, grazie per averlo notato, sono d'accordo, se necessario verrà creata una chat. preferirei che questi commenti fossero lasciati comunque poiché si riferiscono sia alla domanda che alla risposta specifica (come si è evoluta)
Nikos M.

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Una domanda davvero accattivante, e vedremo che il tuo pensiero è corretto .

Per prima cosa vediamo cosa dice il secondo principio della termodinamica.

La funzione entropia è utilizzata nella seconda legge della termodinamica. Deriva dal teorema di Carnot secondo cui i processi che si svolgono nelle macchine a vapore hanno un'efficienza inferiore o nella migliore delle ipotesi pari alla corrispondente macchina "reversibile" (che tra l'altro sembra un concetto instabile nel corso dei 150 anni di termodinamica). Carnot non ha coniato la funzione entropia, ma insieme a Clausius questo è quello che dicono:

Poiché non esiste una macchina perpetuum, allora possiamo costruire una funzione S chiamata entropia che vincola le misure termodinamiche macroscopiche in una certa equazione, cioè che S (V, T, P, ecc.) = 0

Si noti che questa equazione non è altro che l'equazione di un'iper-superficie nello spazio delle misure termodinamiche.

Entra in Carathéodory.

Carathéodory è un matematico tedesco e, come tutti i matematici, vuole estrarre dal ragionamento di Carnot e Clausius alcuni assiomi che gli permetterebbero di chiarire in cosa consiste realmente la seconda legge . In parole povere, vuole purificare la termodinamica per sapere esattamente cos'è l'entropia.

Dopo aver elencato un certo numero di assiomi, riesce a formulare la SUA seconda legge, che dice (più o meno):

Ci sono alcuni processi adiabatici. O più prosaicamente, se vuoi tornare, a volte lavorare da solo non è abbastanza. Hai bisogno di un po 'di calore.

Ora sembra MOLTO diverso dalla formulazione di Clausius! Ma in realtà non lo è. Tutto ciò che Carathéodory ha fatto è stato quello di cambiare l'ordine delle parole, un po 'come i matematici hanno giocato con il 5 ° assioma di Euclide per 2000 anni e hanno prodotto molte parole diverse per quell'assioma. E se fai un passo indietro non dovresti essere troppo sorpreso dall'affermazione di Carathéodory sulla seconda legge. In effetti, Carathéodory porta alla stessa identica funzione entropica ed equazione iper-superficiale S (V, T, P, ecc.) = 0

Rifletti sul teorema di Carnot. Come matematico, non dovresti essere troppo soddisfatto del modo in cui Carnot ammette macchine perpetuum non esistono. In effetti, come matematico preferiresti vedere qualcosa del genere:

Esiste una funzione entropia S che limita le misure macroscopiche SE E SOLO SE non ci sono macchine perpetuum ".

ORA hai un teorema. E cosa dice? Che fintanto che non esiste un sistema meccanico isolato che produce una quantità infinita di energia e quindi potrebbe condurti a qualsiasi stato tu voglia, allora troverai una funzione entropica. Un sistema meccanico isolato è un processo adiabatico. Da qui la formulazione di Carathéodory: nessun sistema adiabatico può condurti ovunque. A volte avrai bisogno di calore.

Quindi non solo siamo sicuri che Carathéodory sia corretto, ma anche che la sua formulazione sia piuttosto semplice.

Ora, da dove hai l'impressione che la seconda legge alla Carathéodory sia simile al problema dell'arresto?

Fai un passo indietro sull'affermazione di Carathéodory. Tutto ciò che dice è che una volta che hai un sistema meccanico isolato con cui smetti di mescolarti, non puoi raggiungere lo stato che desideri.

Non sembra PRECISAMENTE il problema dell'arresto? Cioè una volta che avrai scritto tutti gli assiomi della tua teoria e stabilito tutte le possibili transizioni, ci saranno problemi che non potrai risolvere. A volte, dovrai aggiungere altri assiomi.

In effetti, se vuoi approfondire e codificare la formulazione di Carathéodory, questo comporterà lo stesso codice del problema di arresto con processi adiabatici invece delle macchine di Turing, e indica invece di problemi.

Cosa pensi?

NOTA: ho modificato la mia risposta quasi interamente, quindi i commenti di seguito non saranno in linea con ciò che contiene ora.


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"Rice afferma che nessuna macchina di Turing può produrre indefinitamente una proprietà non banale." Non è una parafrasi di Rice che riconosco. Cosa intendi?
David Richerby,

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Cosa intendi con "produrre infinitamente una proprietà non banale"?
David Richerby,

Un po 'contorto. Rice afferma che non è possibile dimostrare che una MT attui una determinata funzione. Ora se una TM A produce indefinitamente una proprietà non banale (N-TP) significa che produce una N-TP per QUALSIASI voce. Come può essere vero in pratica? Bene, sembra che l'unico modo per essere vero sia considerare una voce indefinita e e mostrare che la sua A (e) ha un N-TP. A sua volta ciò significherebbe che saremmo in grado di PROVARE che la macchina produce un N-TP. E sappiamo che non è possibile. Quindi in effetti postulo che equivale a dire "A produce indefinitamente un N-TP" e "POSSO MOSTRARE che A produce un N-TP"
Girolamo

"Produci all'infinito una proprietà non banale" significa che puoi lanciare un numero infinito di voci distinte nella TM. E tutte le uscite avranno NT-P
Jerome il

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OK. Penso che la tua risposta sarebbe molto più chiara se tu usassi semplicemente termini standard, invece di inventare cose come "produrre infinitamente una proprietà non banale" per significare "essere in grado di elaborare un numero infinito di input". Aiuterebbe anche a spiegare quale aspetto della tua "vera" macchina Turing non è in grado di elaborare un numero infinito di input. Il nastro è finito, per esempio?
David Richerby,
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