Esiste una connessione tra il problema dell'arresto e l'entropia termodinamica?

Alan Turing ha proposto un modello per una macchina (la Turing Machine, TM) che calcola (numeri, funzioni, ecc.) E ha dimostrato il Teorema di Halting .

Una TM è un concetto astratto di una macchina (o motore se vuoi). Il teorema di Halting è un risultato impossibile. Un Carnot Engine (CE) è un concetto astratto di un motore termico e Carnot ha dimostrato il Teorema di Carnot , un altro risultato di impossibilità legato all'entropia termodinamica.

Dato che una MT è fisicamente realizzabile (almeno quanto una CE, o forse no?) Esiste una mappatura o rappresentazione o "isomorfismo" della TM o CE che potrebbe consentire di unificare questi risultati e inoltre connettersi all'entropia?

Esistono naturalmente formulazioni di TM e del Teorema di Halting in termini di teoria algoritmica dell'informazione (ad esempio Chaitin, Kolmogorov ecc.) Ed entropia (in quel contesto). La domanda richiede il concetto più fisico di entropia (se nel processo di una potenziale risposta si pone l'entropia algoritmica va bene, ma non è esattamente quello che la domanda pone).

Si può anche verificare un'altra domanda in Physics.se che mette in relazione l'incertezza quantistica con la seconda legge della termodinamica. Vedi anche: una caratterizzazione algebrica dell'entropia , una caratterizzazione algoritmica dell'entropia , una revisione e connessioni tra varie formulazioni di entropia

Non sono affatto un esperto in questo settore, ma credo che sarai interessato al calcolo reversibile . Ciò comporta, tra l'altro, lo studio della relazione tra processi fisicamente reversibili e processi logicamente reversibili. Penso che sarebbe giusto dire che i "fondatori" del settore erano / sono Ralph Landauer e Charles H Bennett (credo entrambi della ricerca IBM).

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Molte persone che studiano in quest'area stanno anche lavorando sull'informatica quantistica e sulla fisica digitale (l'idea che l'universo sia un grande automa cellulare quantistico). I nomi dei ricercatori che vengono in mente sono Ed Fredkin , Tommaso Toffoli e Norm Margolus .

Queste domande sono assolutamente in tema di informatica. Non solo per la teoria (che include la matematica fredda e la fisica fredda) ma per gli ingegneri che vogliono conoscere i limiti massimi del calcolo. C'è un volume minimo o energia necessaria per memorizzare un po 'di informazioni? L' azione richiesta per eseguire un calcolo reversibile può essere costante, ma ci sono limiti su quale sia quella costante? Queste sono conoscenze fondamentali per gli ingegneri che cercano di spingere i confini di ciò che è possibile.

Non ho familiarità con il Teorema di Carnot, tranne quello che ho appena letto in Wikipedia, ma anche da quella introduzione in breve, c'è una connessione nella struttura delle prove, e potrebbe essere interessante per te, in quanto è una tecnica di prova questo è applicabile in molti domini.

Sono entrambe prove per contraddizione in cui dimostrare che nessuna cosa in una data classe ha delle proprietà, si suppone che in qualche istanza effettivamente ci sia quella proprietà, e quindi si mostra che segue una contraddizione.

Il problema di Halting è interessante in quanto la contraddizione deriva da qualche autointerazione relativa alla particolare istanza (che è una macchina M che può determinare se una macchina arbitraria si fermerà con un dato input). In particolare, si costruisce una nuova macchina che include M come componente e quindi si alimenta la nuova macchina a M.

Qualcuno con maggiori conoscenze sul teorema di Carnot potrebbe approfondirlo (cosa che non sono qualificato a fare), ma sembra che la contraddizione derivi dal tipo di motore termico che potresti costruire se avessi un'istanza con la proprietà a portata di mano.

Quindi entrambi i casi prevedono la costruzione di:

• Supponiamo che alcune X abbiano la proprietà P.
  • Da X, crea Y correlato.
  • Le relazioni tra X e Y sono contraddittorie.
• Pertanto, nessuna X ha proprietà P.

Sembra tuttavia che ci sia una differenza nel fatto che la contraddizione nel caso del Teorema di Halting è una pura contraddizione logica e sarebbe contraddittoria in qualsiasi contesto della logica classica. Il teorema di Carnot, a quanto ho capito, è solo contraddittorio rispetto alla seconda legge della termodinamica. Da una prospettiva logica, questo è un assioma, quindi se prendessi una diversa assiomatizzazione in cui la seconda legge della termodinamica non regge, il Teorema di Carnot non sarebbe un teorema, perché la contraddizione non esisterebbe. (Quale sarebbe una formalizzazione della termodinamica senza la seconda legge è il tipo di domanda che ha portato i geometri alla geometria non euclidea).

IANFisico ma non vedo alcuna connessione. Le macchine di Turing sono oggetti di pura matematica e l'indecidibilità del problema di arresto è indipendente da qualsiasi realizzazione fisica di qualcosa.

questa diversa domanda a più argomenti unf non ha una risposta semplice / facile e tocca aree attive della ricerca TCS. tuttavia è una domanda rara che mi chiede un legame tra fisica e TCS che mi ha interessato nel corso degli anni. ci sono alcune direzioni diverse per andare su questo. la risposta di base è che si tratta di una "domanda aperta", ma con alcune ricerche attive / moderne che la toccano e suggeriscono connessioni.

• ci sono alcuni problemi sorprendenti / profondi indecidibili dalla fisica avanzata. ad esempio da sistemi dinamici. tuttavia, non l'ho visto collegato all'entropia in sé, ma l'entropia è associata a tutti i sistemi fisici (ad esempio, si può vedere questo nella teoria chimica), quindi deve esserci almeno un collegamento indiretto.

• l'entropia si presenta davvero in CS ma più sotto forma di teoria dell'informazione e teoria dei codici. la nascita della teoria dei codici ha comportato la definizione / analisi dell'entropia associata ai codici di comunicazione di Shannon. prova questa fantastica teoria di entropia e informazione online di Gray

• l'entropia è anche talvolta associata alla misurazione della casualità nei PRNG. esiste una connessione tra le separazioni delle classi di complessità (es. P =? NP) e le PRNG nel famoso documento "Prove naturali" di Razborov / Rudich. ci sono continue ricerche su questo argomento.

• citi la termodinamica e la sua connessione con TCS. esiste una profonda connessione tra magnetizzazione negli occhiali di spin in fisica e NP problemi completi studiati nel punto di transizione SAT. lì (di nuovo) il sistema fisico ha un'entropia associata ma probabilmente è stato studiato più in un contesto fisico che in un contesto TCS.

C'è un semplice problema di pensiero che a volte viene usato come introduzione ai paradigmi informatici non convenzionali:

Hai due lampadine e i rispettivi interruttori on-off. Qualcuno apre e chiude entrambe le luci una dopo l'altra. Come si determina quale è stato chiuso per primo e quale è stato chiuso per ultimo? Determina il numero minimo di volte che dovrai aprire le luci per decidere questo problema.

La maggior parte degli informatici di solito cerca di trovare una soluzione booleana basata sulla logica. La risposta è (almeno una di esse): toccando le lampadine e vedendo quale è più caldo.

Nell'informatica esistono paradigmi basati sul calore: la ricottura simulata è un algoritmo noto (il computer quantistico delle onde D è la controparte quantistica dell'algoritmo).

Ora c'è una relazione con il problema di Halting?

Il classico lavoro di Chaitin e Calude sul problema di Halting attraverso il concetto di numeri Omega può essere collegato alla formulazione probabilistica del problema di Halting. È il trattato più recente sul problema che mi viene in mente ... e nessuna relazione chiara con l'entropia (termodinamica). Ora, se l'entropia dell'informazione (nel senso di Shannon) è buona con te, il numero Omega codifica nel modo più succinto il problema di Halting, nel senso di Shannon legato.

In breve, un numero Omega è la probabilità che un programma casuale si arresti. Conoscere la costante consentirebbe l'enumerazione di tutte le affermazioni matematiche valide (verità, assiomi, ecc.) Ed è incontestabile. Calude calcolò una versione di Omega cambiando la misura di probabilità uniforme con una misura inversamente proporzionale alla lunghezza di un programma casuale e usando codifiche prive di prefissi, quindi potremmo parlare di Omega di Chaitin e Omega di Calude.

Sì !, stranamente ci ho pensato ... Ecco l'idea:

Primo passo

Modella il Demone di Maxwell come un programma per computer. Quindi, come fa il Demone a conoscere la velocità e la posizione delle particelle prima di aprire la porta per la selezione?

Supponiamo che il demone non possa misurare la velocità con cui le particelle colpiscono la porta, perché? perché ciò cambierebbe la velocità delle particelle, quindi il demone deve capire prima di aprirlo, senza guardare, senza misurare. Per essere onesti, faremo in modo che il demone conosca in anticipo le regole del gioco, cioè alimentiamo il demone con leggi di movimento, interazioni di particelle e condizioni iniziali, abbastanza del modello fisico / dinamico.

Secondo passo

Ora modella il gas delle particelle anche come un programma per computer che esegue lo stesso codice dato al demone per ogni particella, quindi il gas sta calcolando un risultato dalle sue condizioni iniziali, il Demone non conosce quel risultato fino a quando non si ferma (se mai ): vale a dire "una particella con la giusta velocità è alla porta", la decisione sì / no che stiamo ponendo al sistema è "Hai una particella nella posizione giusta e una velocità sufficiente?", in tal caso, la porta potrebbe essere aperta e la particella veloce può andare nel lato ad alta temperatura della stanza impostando nuove condizioni iniziali (quei problemi consecutivi avranno una risposta? o funzioneranno per sempre?)

Ci sarà un tempo in cui non vi sarà alcuna particella con una velocità sufficiente per attraversare il confine, quindi ci sarà un tempo in cui il codice verrà eseguito per sempre (non arrestarsi) per quasi una determinata soglia.

Il demone vuole conoscere il risultato che viene calcolato dal gas, ma il risultato è in un certo senso coinvolto potenzialmente nel codice sorgente delle leggi della particella più le condizioni iniziali .. ovviamente dobbiamo eseguire quel programma per conoscerlo. Se il Demone esegue lo stesso programma in attesa della giusta velocità all'uscita, il programma potrebbe arrestarsi o potrebbe funzionare per sempre (ma supponiamo anche che il demone non abbia più potenza computazionale del gas, quindi non sarà in grado di decidere il apertura della porta in tempo).

Daemon potrebbe provare a capire l'output del programma (o se si fermerà) guardando la sorgente e gli input senza eseguirlo, ma è come cercare di risolvere il problema di Halting, perché? perché il Demone non sa quali leggi e condizioni iniziali saranno alimentate, quindi il Demone dovrebbe essere pronto a risolvere qualsiasi insieme di leggi e condizioni iniziali, e sappiamo che non è possibile in generale, avrà bisogno di un oracolo, se potesse basti a costruire un demone per generare energia dal nulla. (anche conoscendo le leggi e le condizioni iniziali, entrambe le cose sono già abbastanza difficili da sapere)

Questo esperimento mentale può collegare come una riduzione dell'entropia, per mezzo dei computer, potrebbe in qualche modo delimitata da Halting Problem , come un problema per anticipare in generale i risultati.

(A volte tutti i limiti sembrano essere lo stesso limite ..)

Maggiori informazioni sulle leggi sulle particelle

Le leggi sulle particelle non sono il problema principale di questo esperimento mentale, quelle leggi potrebbero essere quantistiche o classiche, ma dobbiamo tenere conto del fatto della complessità delle leggi e delle condizioni iniziali, la complessità della disposizione delle particelle non è limitata e potrebbe avere molta complessità aggiunta (in un esempio estremo di condizioni iniziali potresti persino inserire un intero computer che spara particelle secondo un codice sorgente interno e dare quel codice al demone).

Una domanda davvero accattivante, e vedremo che il tuo pensiero è corretto .

Per prima cosa vediamo cosa dice il secondo principio della termodinamica.

La funzione entropia è utilizzata nella seconda legge della termodinamica. Deriva dal teorema di Carnot secondo cui i processi che si svolgono nelle macchine a vapore hanno un'efficienza inferiore o nella migliore delle ipotesi pari alla corrispondente macchina "reversibile" (che tra l'altro sembra un concetto instabile nel corso dei 150 anni di termodinamica). Carnot non ha coniato la funzione entropia, ma insieme a Clausius questo è quello che dicono:

Poiché non esiste una macchina perpetuum, allora possiamo costruire una funzione S chiamata entropia che vincola le misure termodinamiche macroscopiche in una certa equazione, cioè che S (V, T, P, ecc.) = 0

Si noti che questa equazione non è altro che l'equazione di un'iper-superficie nello spazio delle misure termodinamiche.

Entra in Carathéodory.

Carathéodory è un matematico tedesco e, come tutti i matematici, vuole estrarre dal ragionamento di Carnot e Clausius alcuni assiomi che gli permetterebbero di chiarire in cosa consiste realmente la seconda legge . In parole povere, vuole purificare la termodinamica per sapere esattamente cos'è l'entropia.

Dopo aver elencato un certo numero di assiomi, riesce a formulare la SUA seconda legge, che dice (più o meno):

Ci sono alcuni processi adiabatici. O più prosaicamente, se vuoi tornare, a volte lavorare da solo non è abbastanza. Hai bisogno di un po 'di calore.

Ora sembra MOLTO diverso dalla formulazione di Clausius! Ma in realtà non lo è. Tutto ciò che Carathéodory ha fatto è stato quello di cambiare l'ordine delle parole, un po 'come i matematici hanno giocato con il 5 ° assioma di Euclide per 2000 anni e hanno prodotto molte parole diverse per quell'assioma. E se fai un passo indietro non dovresti essere troppo sorpreso dall'affermazione di Carathéodory sulla seconda legge. In effetti, Carathéodory porta alla stessa identica funzione entropica ed equazione iper-superficiale S (V, T, P, ecc.) = 0

Rifletti sul teorema di Carnot. Come matematico, non dovresti essere troppo soddisfatto del modo in cui Carnot ammette macchine perpetuum non esistono. In effetti, come matematico preferiresti vedere qualcosa del genere:

Esiste una funzione entropia S che limita le misure macroscopiche SE E SOLO SE non ci sono macchine perpetuum ".

ORA hai un teorema. E cosa dice? Che fintanto che non esiste un sistema meccanico isolato che produce una quantità infinita di energia e quindi potrebbe condurti a qualsiasi stato tu voglia, allora troverai una funzione entropica. Un sistema meccanico isolato è un processo adiabatico. Da qui la formulazione di Carathéodory: nessun sistema adiabatico può condurti ovunque. A volte avrai bisogno di calore.

Quindi non solo siamo sicuri che Carathéodory sia corretto, ma anche che la sua formulazione sia piuttosto semplice.

Ora, da dove hai l'impressione che la seconda legge alla Carathéodory sia simile al problema dell'arresto?

Fai un passo indietro sull'affermazione di Carathéodory. Tutto ciò che dice è che una volta che hai un sistema meccanico isolato con cui smetti di mescolarti, non puoi raggiungere lo stato che desideri.

Non sembra PRECISAMENTE il problema dell'arresto? Cioè una volta che avrai scritto tutti gli assiomi della tua teoria e stabilito tutte le possibili transizioni, ci saranno problemi che non potrai risolvere. A volte, dovrai aggiungere altri assiomi.

In effetti, se vuoi approfondire e codificare la formulazione di Carathéodory, questo comporterà lo stesso codice del problema di arresto con processi adiabatici invece delle macchine di Turing, e indica invece di problemi.

Cosa pensi?

NOTA: ho modificato la mia risposta quasi interamente, quindi i commenti di seguito non saranno in linea con ciò che contiene ora.