Le funzioni booleane sono complete

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Una funzione booleana è una funzione . $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$

La base booleana è nota come Turing completa in quanto consente di capovolgere o lasciare invariata qualsiasi sequenza . Lo stesso si può dire delle porte $(\vee,\wedge)$ $s\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$

In questo senso possiamo iniziare con una configurazione iniziale della macchina tale che e con valori successivi : $\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$ $b_i\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$ $\textbf{v}_i$

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

Ogni stato rappresenterebbe una permutazione di qualche elemento a . Questo processo imita efficacemente una macchina di Turing e presuppone l'esistenza di un generatore per i valori . $\textbf{v}_i$ $\textbf{b}$ $\textbf{v}_i$

Quindi possiamo dire che le funzioni booleane di Turing sono complete?

turing-machines turing-completeness boolean-algebra

— user13675
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Come può questo macchinario rimanere bloccato in un ciclo infinito?

— Guildenstern,

v_{i}

$\textbf{v}_i$

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Informalmente, un linguaggio (di programmazione) è Turing completo se ogni funzione calcolabile ha una rappresentazione. Una funzione calcolabile generale accetta un input di dimensioni arbitrarie. Le funzioni booleane, d'altra parte, accettano un input di dimensioni fisse. Quindi le funzioni booleane non si qualificano nemmeno come potenzialmente complete di Turing.

$k$ $k$ $x_1,\ldots,x_n$ $n \geq 1$ $\{\lnot,\lor,\land\}$ $\{\lnot,\Rightarrow\}$ $\{\lnot,\oplus\}$ non è completo: può esprimere solo funzioni lineari.

— Yuval Filmus
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La loro controparte, circuiti booleani, sarebbe Turing completa? Immagino che lo siano da quando Cook (nella sua prova della completezza NP di 3SAT) ha dimostrato come le macchine di Turing e i circuiti booleani siano equivalenti?

— user13675,

@ user13675 No, è esattamente lo stesso problema. Ogni macchina di Turing con arresto può essere convertita in un circuito o formula booleana equivalente per ogni dimensione di input, ma per ogni dimensione sarà necessario uno diverso.

— Yuval Filmus,

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in senso stretto, come ha risposto YF, i circuiti finiti non possono essere completi di Turing.

tuttavia vale la pena menzionare un indizio in risposta a questa domanda (e forse a ciò che stai cercando) un concetto strettamente correlato usato abbastanza ampiamente in teoria in cui i circuiti sono usati per calcolare le funzioni in un modo che è più forte del completo di Turing.

$n$ $C_n$

— VZN
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