Dimostra che ogni due percorsi più lunghi hanno almeno un vertice in comune

Se un grafico è collegato e non ha un percorso con una lunghezza maggiore di , provare che ogni due percorsi in di lunghezza hanno almeno un vertice in comune. $G$ $k$ $G$ $k$

Penso che quel vertice comune dovrebbe essere nel mezzo di entrambi i percorsi. Perché se così non fosse, allora possiamo avere un percorso di lunghezza . Ho ragione? $>k$

graph-theory graphs combinatorics

— Saurabh
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Controesempio per un grafico diretto che non è fortemente connesso: vertici

, bordi

, i percorsi

non hanno vertici comuni.

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— sdcvvc,

@sdcvvc, potresti fornirlo come risposta.

@sdcvvc Immagino che la domanda sia limitata ai grafici non indirizzati.

— Raffaello

Puoi confermare (o confermare) che

è un grafico non indirizzato e stai considerando solo percorsi semplici (= senza ciclo)?

G

$G$

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

@Gilles Sì, il grafico non è indirizzato e il percorso è walk in cui contengono spigoli e vertici distinti.

— Saurabh,

Risposte:

Supponiamo per assurdo che $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ e $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ sono due percorsi in $G$ di lunghezza $k$ senza vertici condivisi.

Poiché $G$ è collegato, esiste un percorso $P'$ collega $v_{i}$ a $u_{j}$ per alcuni $i,j \in [1,k]$ tale che $P'$ non condivide vertici con $P_{1} \cup P_{2}$ diversi da $v_{i}$ e $u_{j}$ . Say $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (nota che potrebbe non esserci $x_{i}$ vertici, cioè, $b$ può essere $0$ - la notazione è un po 'carente però).

Senza perdita di generalità possiamo supporre che $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (possiamo sempre invertire la numerazione). Quindi possiamo costruire un nuovo percorso $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (percorrendo $P_{1}$ a $v_{i}$ , poi attraverso il ponte formato da $P'$ a $u_{j}$ , quindi lungo $P_{2}$ a $u_{0}$ ).

Ovviamente $P^{*}$ ha una lunghezza di almeno $k+1$ , ma ciò contraddice l'assunto che $G$ non ha percorsi di lunghezza maggiori di $k$ .

Quindi allora due percorsi di lunghezza $k$ devono intersecare almeno un vertice e la tua osservazione che deve essere nel mezzo (se ce n'è solo uno) segue come hai ragionato.

— Luke Mathieson
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Penso che tu abbia bisogno di

, altrimenti il nuovo percorso non è necessariamente più lungo. Si noti che

è possibile.

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

— Raffaello

@Raphael Sì, non ho esplicitamente dichiararlo (e utilizzata la notazione un po 'fuorviante), ma

posso tranquillamente essere

, il ponte aggiunge sempre almeno un bordo, però, anche se gli unici vertici in

sono

. Sul primo punto, nota che ho costruito il percorso da

, quindi

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

ragione. Se è andato a

allora

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ would be the right condition.

— Luke Mathieson

You are right that the common vertex must occur in the middle of both paths.

However that intuition will not solve the actual problem you're trying to solve.

Instead try to demonstrate that, given any point in the path, the path segment from (and including) that point to one of the ends of the original path must have strictly greater than half as many nodes as the full path.

Once you have shown that, you will be able to both solve the problem that you were asked and verify your conjecture.

— btilly
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