Verifica se un tetraedro si trova all'interno di un poliedro

Ho un tetraedro e un poliedro p . t è vincolato in modo tale da condividere sempre tutti i suoi vertici con p . Voglio determinare se t sta dentro p .$t$ $p$$t$$p$$t$ $p$

Vorrei aggiungere un dettaglio al problema nel caso in cui possa contribuire alla soluzione: è un tetraedro di Delaunay e le facce di p sono triangolari e sono fortemente delaunay sia rispetto ai vertici di p . Un tetraedro è Delaunay se la circumsfera dei suoi vertici non contiene altri vertici al suo interno. Una faccia è fortemente delaunay se esiste una circumsfera contenente vertici di quella faccia sulla sua superficie ma nessun altro vertice su o all'interno di essa.$t$$p$$p$

Le figure seguenti mostrano lo stesso problema nello spazio : $2D$

Il poligono originale $p$ :

Triangolazione di Delaunay dei vertici di $p$ :

Risultato del test interno / esterno sui triangoli $t$ (i triangoli ombreggiati sono all'interno di e il resto è all'esterno ):$p$

Risultato desiderato (potatura dei triangoli esterni ) :

Il mio problema originale è nello spazio 3D, quindi i triangoli nelle figure sopra si traducono in tetraedri e il poligono p si traduce in un poliedro arbitrario p . Ho capito alcune formulazioni di questo problema:$t$$p$$p$

Formulazione 1
Le uniche parti di che possono essere al di fuori di p sono i suoi bordi e le facce triangolari ma in generale può esistere una p che ha i bordi di tutte le t esterne sulla sua superficie, quindi in alternativa, questo problema può anche essere formulato per verificare se un tetraedro t esiste una faccia che si trova all'esterno p ?$t$$p$$p$ $t$$t$ $p$

Formulazione 2
Ho un'altra possibile prospettiva verso questo problema, ma manca qualsiasi idea formale:
Geometricamente, se è fuori allora sarà sempre attaccare sulla esterno superficie di p . Quindi se possiamo calcolare i contorni (informalmente, il confine esterno) C V e C V p in modo tale che V = V t ∪ V p e V t , V p siano insiemi di vertici rispettivamente in t , p , quindi $t$$p$$C_{V}$$C_{V_{p}}$$V=V_{t}\cup V_{p}$$V_t,V_p$$t,p$ ssettrova all'internop. $C_{V}=C_{V_p}$ $t$$p$

Mi piacerebbe sapere:

• Come posso risolvere la Formulazione 1 o la Formulazione 2 ?
• Oppure, c'è un approccio completamente diverso per risolvere questo?

$t$$p$ $p$$t$ $p$

$p$

Sulla base di quanto sopra, il mio problema principale ora sembra essere (suggerire se dovrebbe essere posto come una domanda separata):
esiste qualche algoritmo numericamente solido per il problema del punto nel poligono ?

Di recente ho trovato una soluzione a questo problema in un documento "Segmentazione interna-esterna robusta che utilizza numeri di avvolgimento generalizzati" di Alec Jacobson et.al., qui . Risolve il problema di localizzare se un punto si trova all'interno (o all'esterno) di una maglia poligonale arbitraria (una con autointersezioni, non-manifold, superfici aperte ecc.) Usando la nozione di numero di avvolgimento generalizzato .

$t$$p$