Numero previsto di swap nell'ordinamento a bolle

Dato un array $A$ di $N$ numeri interi, ogni elemento dell'array può essere aumentato di un numero fisso $b$ con una certa probabilità $p[i]$ , $0 \leq i < n$ . Devo trovare il numero previsto di swap che avranno luogo per ordinare l'array usando il bubble sort .

Ho provato quanto segue:

1. La probabilità per un elemento $A[i] > A[j]$ per $i < j$ può essere calcolata facilmente dalle probabilità date.

2. Utilizzando quanto sopra, ho calcolato il numero previsto di swap come:

   double ans = 0.0;
   for ( int i = 0; i < N-1; i++ ){
       for ( int j = i+1; j < N; j++ ) {
           ans += get_prob(A[i], A[j]); // Computes the probability of A[i]>A[j] for i < j.
   

Fondamentalmente sono arrivato a questa idea perché il numero previsto di swap può essere calcolato dal numero di inversioni dell'array. Quindi, usando la probabilità data, sto calcolando se un numero $A[i]$ verrà scambiato con un numero $A[j]$ .

Si noti che gli elementi dell'array iniziale possono essere in qualsiasi ordine, ordinati o non ordinati. Quindi ogni numero può cambiare con una certa probabilità. Dopo questo devo calcolare il numero previsto di swap.

Ho pubblicato una domanda simile prima ma non aveva tutti i vincoli.

Non ho avuto buoni suggerimenti sul fatto che io sia sulla strada giusta o meno, quindi ho elencato tutti i vincoli qui. Per favore, mi dia qualche suggerimento se sto pensando al problema in modo errato.

Sia definito come segue:$\sf{Bubble Sort}$

for (j = A.length; j > 1; j--)
    for (i = 0; i < j - 1; i++)
        if (A[i] > A[i + 1])
            swap(i, i + 1, A)

Data una certa permutazione , si dice che si è verificata un'inversione se x j < x i per alcuni i < j . Vediamo che B u b b l e S o r t esegue un controllo di inversione per ogni coppia, e se così, esegue uno scambio. Sia X il numero di swap. Non è difficile vedere nel peggiore dei casi ci sono X = ($x_1, \cdots, x_n$$x_j < x_i$$i < j.$$\sf{Bubble Sort}$$X$ possibili swap effettuati. Ma ci interessa nel caso previsto che possiamo calcolare definendoXin termini di inversioniBubbleSoRt.$X = \binom{n}{2}$$X$$\sf{Bubble Sort}$

Ora lasciate dove sono i j è la variabile indicatore che esiste un'inversione per qualche coppia ( i , j ) . L'aspettativa è definita come E [ X ] = E [ ∑ j ∑ i < j I i j ] = ∑ j ∑ i < j E [ I i j$X = \sum_j \sum_{i<j} I_{ij}$$I_{ij}$$(i,j)$$E[X] = E[\sum_j \sum_{i<j} I_{ij}] = \sum_j \sum_{i<j} E[I_{ij}]$. Ora dobbiamo determinare .$P\{I_{ij}\}$

Quando si assume qualsiasi possibile permutazione come input, ciascuno con probabilità uniforme, si può dimostrare che . Il ragionamento alla base di ciò è che sotto ogni possibile permutazione, metà del tempoxj<xie metà del tempoxi<xjperi≠j.$P\{I_{ij}\} = \frac{1}{2}$$x_j < x_i$$x_i < x_j$$i \neq j$

Tornando al nostro calcolo delle aspettative, vediamo che $E[X] = \sum_j \sum_{i<j}E[I_{ij}] = \sum_j \sum_{i<j} \frac{1}{2} = \binom{n}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$