Ci sono problemi esistenti che non sarebbero risolvibili con un oracolo di arresto?

Capisco che la maggior parte dei problemi sono banali se è disponibile un oracolo di arresto (o, penso equivalentemente, iper-computazione). Tuttavia, l'applicazione dell'argomento che mostra il problema di Halting è impossibile per una macchina di Turing mostra anche che è impossibile per un oracolo di Turing + decidere il problema di Halting per un oracolo di Turing +. Esistono esempi concreti, pratici, di problemi irrisolvibili da un oracolo che si ferma?

Nota: per "oracolo" intendo l'oracolo per una macchina Turing standard, non una TM con un oracolo stesso.

Basta prendere un problema il cui grado di Turing è superiore a , che è il grado di The Halting Oracle. In termini di gerarchia aritmetica, si desidera avere problemi al di sopra di . Esempi di tali problemi (dove è il -esima parziale funzione calcolabile e è il - il set calcolabile enumerabile):$0'$$\Sigma^0_1$$\phi_n$$n$$W_n = \{k \in \mathbb{N} \mid \text{$\phi_n(k)$ is defined}\}$$n$

• $\{n \in \mathbb{N} \mid \text{$\varphi_n$ terminates for finitely many inputs}\}$ è .$\Sigma^0_2$
• $\{n \in \mathbb{N} \mid \text{$\varphi_n$ is a total function}\}$ è .$\Pi^0_2$
• $\{n \in \mathbb{N} \mid \text{$W_n$ is a computable set}\}$ è .$\Sigma^0_3$

Nessuno di questi può essere risolto anche se si dispone di un Halting Oracle. Ad esempio, considera il secondo esempio, "is total?" Dato modo l'Halting Oracle potrebbe aiutarci a decidere se la macchina di Turing codificata da ferma su ogni input?$\varphi_n$$n$$n$

[Aggiunto il 03-06-2014] Per un aspetto "pratico" di tutto ciò, considerare il problema: un programmatore ha scritto una funzione void charge_credit_card(int card_number, int amount)e vorremmo sapere se la funzione termina su tutti gli ingressi. È impossibile scrivere un compilatore che può verificarlo automaticamente in generale. Inoltre, anche se consentiamo al compilatore di farci domande sul modulo " charge_credit_cardtermina quando viene fornito l'input (k,m)?", È ancora impossibile.