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Voglio specificare cosa significa dare un'algebra come input per un algoritmo e non ho trovato molta letteratura a riguardo. Quindi, prima vorrei chiederti se puoi raccomandare un libro o un documento che affronti il ​​tema dell'analisi della complessità delle algebre sui campi e definire chiaramente il problema decisionale .

Dopo qualche ricerca ho trovato qualcosa e voglio condividerlo qui e inoltre chiedo se le definizioni hanno senso e sono conformi alla letteratura (se ce ne sono):

Definizione: Sia essere un campo e un essere un commutativa finitamente generato F -algebra con base additivo B 1 , ... , b n ∈ F . Vogliamo ora catturare la struttura moltiplicativa dell'algebra e quindi scrivere ogni prodotto di elementi di base come una combinazione lineare di tutti gli elementi di base: ∀ 1 ≤ i , j , k ≤ n : ∃ a i j k : b i b j = n $\mathbb F$$A$$\mathbb F$$b_1,\ldots, b_n\in\mathbb F$ Glia i j k sono chiamaticoefficienti di struttura. Abbiamo direttamente che: A≅ F [ b 1 ,…, b n

$$\forall 1\leq i, j, k\leq n: \exists a_{ijk}: b_ib_j=\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k.$$ $a_{ijk}$ Ora si può definire il seguente problema decisionale: {(A,B)|A,B commutativa  F -algebre con base  B 1 ,... b n  e A≅B} $$A \cong \left.\mathbb{F}[b_1, \ldots, b_n] \middle/ \left<b_i b_j-\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k\right>_{1\leq i,j\leq n}\right..$$ $$\{(A,B)\mid A, B \text{ commutative $\mathbb F$-algebras with basis $b_1, \ldots b_n$ and } A\cong B\}.$$ Per specificare un isomorfismo è sufficiente scrivere ogni φ ( b i ) come combinazione lineare degli elementi di una base di B .$\phi:A\rightarrow B$$\phi(b_i)$$B$

Qualcosa in questa definizione ti sembra strano o pensi che si possa lavorare con esso?

$f,g\in\mathbb F[x_1, \ldots, x_n]$$f$$g$$\tau$$f(\tau(x_1), \ldots, \tau(x_n))=g(x_1, \ldots, x_n)$

$\mathbb F$

$\mathbb{F}$

La calcolabilità sulla struttura matematica è un'area di ricerca lunga e consolidata. Ad esempio, vedi:

• Edward R. Griffor, " Manuale di teoria della calcolabilità ", 1999

• Leonidovich Ershov, " Manuale di matematica ricorsiva: algebra ricorsiva, analisi e combinatoria ", 1998

o google per:

• algebra della calcolabilità
• teoria dei modelli calcolabile