Ridurre al minimo il componente massimo di una somma di vettori

Vorrei imparare qualcosa su questo problema di ottimizzazione: per determinati numeri interi non negativi , trova una funzione minimizza l'espressione$a_{i,j,k}$$f$

Un esempio che utilizza una diversa formulazione potrebbe renderlo più chiaro: ti viene dato un set di insiemi di vettori come

{
    {(3, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 2, 0, 0)},
    {(0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0)},
    {(0, 0, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1, 0)}
}

Scegli un vettore da ogni set, in modo che il componente massimo della loro somma sia minimo. Ad esempio, puoi scegliere

(1, 0, 2, 0, 0) + (0, 1, 0, 0, 0) + (0, 1, 0, 1, 0) = (1, 1, 2, 1, 0)

con il componente massimo pari a 2, che qui è chiaramente ottimale.

Sono curioso di sapere se si tratta di un problema noto e di quali metodi di soluzione approssimativi specifici per il problema sono disponibili. Dovrebbe essere veloce e facile da programmare (nessun risolutore ILP , ecc.). Non è necessaria una soluzione esatta in quanto è solo un'approssimazione del problema reale.

Vedo che avrei dovuto aggiungere alcuni dettagli sulle istanze del problema a cui sono interessato:

• $i \in \{0, 1, \ldots, 63\}$ , ovvero ci sono sempre 64 righe (se scritte come nell'esempio sopra).
• $j \in \{0, 1\}$ , cioè ci sono solo 2 vettori per riga.
• $k \in \{0, 1, \ldots, N-1\}$ dove (la lunghezza del vettore) è compreso tra 10 e 1000.$N$

Inoltre, su ogni riga la somma degli elementi di tutti i vettori è la stessa, ovvero

e la somma degli elementi del vettore somma è inferiore alla sua lunghezza, cioè

Riduzione da 3SAT alla versione a due vettori: data una formula, lascia che indicizzi le variabili, e clausole di indice. Sia il numero di volte in cui la variabile appare positivamente (se ) o negativamente (se ) nella clausola . OPT è inferiore a se la formula è soddisfacente (la biiezione è ovvia).j ∈ { 0 , 1 } k a i , j , k i j = 0 j = 1 k $i$$j \in \{0,1\}$$k$$a_{i,j,k}$$i$$j = 0$$j = 1$$k$$3$

Come avrei attaccato questo problema: la grande ricerca di quartiere. Inizia con qualsiasi soluzione. Scegli righe a caso. Usa la forza bruta per trovare la soluzione migliore in cui può cambiare solo su quelle righe, molto fattibile anche per moderato dato che la dimensione del problema è di righe. Ripetere.f k $r$$f$$k$$64$

Non possiamo discutere la complessità di un problema quando la dimensione del problema è fissata su una costante, perché (la maggior parte della) teoria della complessità si occupa del comportamento asintotico della complessità del problema poiché la dimensione del problema tende all'infinito. Qui, considero sia il numero di righe che la dimensione dei vettori come variabili.

Quindi il problema è NP-completo anche se i numeri nell'input sono indicati in modo unario. Questa non è una risposta alla tua domanda perché stai chiedendo approssimazione, ma è qualcosa.

Definisci il problema rigorosamente:

Istanza : n coppie di vettori a _i , b _i ∈ ℕ ^m ( i ∈ {1, ..., n }) e K ∈ ℕ, tutti in unario.
Domanda : Possiamo scegliere tra un _io o b _i per ogni i in modo che la somma di questi n vettori ha al massimo K in ogni coordinata?

Di seguito è un problema noto NP completo chiamato 3-partizione :

Istanza a 3 partizioni : B ∈ ℕ e 3 k numeri interi c ₁ ,…, c _{3 k} tra B / 4 e B / 2, esclusivo, tale che ∑ _{i = 1} ^{3 k} c _i = kB , tutti in unario.
Domanda : il multiset { c ₁ , ..., c _{3 k} } può essere suddiviso in k multiset S ₁ , ..., S _{k in modo} tale che la somma di ogni S _j sia uguale aB ?

Data un'istanza ( B ; c ₁ ,…, c _{3 k} ) del problema delle 3 partizioni, costruisci un'istanza del problema sopra come segue. Per ogni i = 1,…, 3 k e j = 1,…, k , costruiremo una coppia di vettori dimensionali di 4 k , che rappresentano la scelta se c _i appartiene o meno a S _j :

• Vettore rappresentativo scelta “ c _i ∈ S _j ” ha un solo ingresso diverso da zero, che è ( k -1) c _i a j esima coordinata.
• Il vettore che rappresenta la scelta " c _i ∉ S _j " ha anche solo una voce diversa da zero, che è B alla coordinata ( k + i ) -th.

Non è difficile vedere che l'istanza ( B ; c ₁ ,…, c _{3 k} ) del problema delle 3 partizioni ha una soluzione se e solo se esiste un modo per scegliere un vettore da ciascuno dei 3 k ² costruiti coppie in modo che tutte le coordinate della somma di questi vettori sono al massimo ( k -1) B . (In effetti, quando ciò accade, tutte le coordinate della somma sono uguali a ( k −1) B. ) Quindi questa è una riduzione dal problema delle 3 partizioni al problema precedente.

Finora ho ignorato i due vincoli aggiuntivi indicati alla fine della domanda, ma entrambi sono facili da applicare modificando leggermente questa riduzione. La condizione che la somma degli elementi di ciascun vettore sia uguale può essere imposta aggiungendo coordinate fittizie che contengono solo 0 o 1. La condizione che questa somma sia inferiore alla dimensione può essere applicata aggiungendo coordinate fittizie che contengono solo 0.