Perché no

In CLRS (alle pagine 49-50), qual è il significato della seguente dichiarazione:

$\Sigma_{i=1}^{n} O(i)$ è solo una singola funzione anonima (di $i$), ma non è lo stesso di $O(1)+O(2)+\cdots+O(n)$, che in realtà non ha un'interpretazione ".

Da $1+2+\dots+n =O(n^2)$, è allettante suggerirlo $O(1)+O(2)+\dots+O(n) = O(n^2)$... ma questo non è in realtà valido. Il motivo è che potrebbe esserci una costante diversa per ogni termine della somma.

Un esempio

Lasciami fare un esempio. Considera le somme$S(1) = 1^2$, $S(2) = 1^2 + 2^2$, $S(3) = 1^2 + 2^2 + 3^2$, $S(4) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$, e così via. Nota che$1^2 \in O(1)$, $2^2 \in O(2)$, $3^2 \in O(3)$, $4^2 \in O(4)$e così via per ogni termine della somma. Pertanto, sarebbe ragionevole scrivere$S(j)=1^2 + \dots + j^2$ Nella forma $S(j) = O(1) + \dots + O(j)$. Quindi possiamo concludere questo$S(j) = O(j^2)$? No. Infatti,$S(n) = n(n+1)(2n+1)/6$, così $S(n) = \Theta(n^3)$.

Se ciò non aiuta, proviamo il seguente sviluppo matematico più preciso:

Una formalizzazione

Ricordiamo che l'interpretazione, diciamo, $O(n^2)$ è che è un insieme di funzioni non negative $f(n)$ (vale a dire, l'insieme di funzioni $f(n)$ tale che esistono costanti $c \ge 0, d\ge 0$ tale che $f(n) \le c \cdot n^2$ per tutti $n\ge d$).

Il più vicino possiamo arrivare a un'interpretazione di $O(1) + O(2) + \dots + O(n)$ è che è l'insieme di funzioni del modulo $f_1(n) + f_2(n) + \dots + f_n(n)$ tale che $f_1(n) \in O(1)$, $f_2(n) \in O(2)$, ..., $f_n(n) \in O(n)$.

Ma ora le costanti per ciascuno $f_i$può essere diverso. Quindi, ciascuno$f_i$ è una funzione non negativa $f_i$ tale che esistono costanti $c_i\ge 0,d_i \ge 0$ con $f_i(n) \le c_i \cdot i$ per tutti $n \ge d_i$.

Ora, dato questo, cosa possiamo dire $g(n) = f_1(n) + f_2(n) + \dots + f_n(n)$? Non molto utile Sappiamo che esiste una costante$d=\max(d_1,d_2,\dots,d_n)$tale che per tutti . Cosa possiamo dire di questa somma? Bene, la risposta è che non possiamo dire nulla. Potrebbe essere arbitrariamente grande. È allettante lasciare che e dire che ... ma in realtà non è corretto, poiché abbiamo bisogno di un singolo valore costante di che funzioni per tutti , e il valore è una funzione di , non una costante.$g(n) \le c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 2 + \dots + c_n \cdot n$$n\ge d$$c=\max(c_1,c_2,\dots,c_n)$$g(n) \le c \cdot (1+2+\dots+n) \le c \cdot n^2 = O(n^2)$$c$$n$$\max(c_1,c_2,\dots,c_n)$$n$

Quindi potrebbe non esserci alcuna costante tale che ; potrebbe non esserci alcuna costante tale che . Non esiste alcuna garanzia che .$c$$g(n) \le c \cdot (1+2+\dots+n)$$c$$g(n) \le c \cdot n^2$$g(n) \in O(n^2)$

Per più lettura

Consulta https://math.stackexchange.com/q/86076/14578 e le Somma dei termini Landau rivisitati per altre domande che trattano questo problema generale.

Il motivo per cui il commento di CLRS è confuso è che, tecnicamente, è definito come . Quello che sta realmente accadendo è che CLRS sta abusando della notazione per motivi di semplicità:$\sum_{i=1}^{n} O(i)$$O(1) + O(2) + \ldots O(n)$

• $O(1)$ rappresenta un insieme di funzioni. Include, ad esempio, , e .$f(n)=1$$f(n)=1/n$$f(n)=n^{1/n}$
• Quando scrivi stai tecnicamente aggiungendo due set e con un'operazione di sommario . Quando questo viene fatto con più di un numero costante di termini, può portare a comportamenti imprevisti, come spiega chiaramente DW in un'altra risposta.$O(1) + O(2)$$O(1)$$O(2)$

Invece, CLRS vorrebbe quindi che tu interpretassi come dove la funzione generica . Ad esempio, scriverebbero che è o .$\sum_{i=1}^n O(i)$$\sum_{i=1}^n f(i)$$f(i) \in O(i)$$\sum_{i=1}^n 3i-5$$\sum_{i=1}^n O(i)$$O(n^2)$