Le relazioni di equivalenza coprono il problema (nella teoria dei grafi)

Una relazione di equivalenza su un insieme di vertici finiti può essere rappresentata da un grafico non orientato che è un'unione disgiunta di cricche. Il set di vertici rappresenta gli elementi e un bordo indica che due elementi sono equivalenti.

Se ho un grafico e grafici , diciamo che è coperto da se l'insieme dei bordi di è uguale all'unione degli insiemi di bordi di . Non è necessario che i gruppi di di siano disgiunti. Si noti che qualsiasi grafico non orientato può essere coperto da un numero finito di relazioni di equivalenza (cioè l'unione disgiunta di grafici a cricche). $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G_1,\dots,G_k$ $G$

Ho diverse domande:

Cosa si può dire del numero minimo di relazioni di equivalenza richieste per coprire un grafico $G$ ?
Come possiamo calcolare questo numero minimo?
Come possiamo calcolare una copertura minima esplicita di $G$ , ovvero un insieme di relazioni di equivalenza la cui dimensione è minima e che coprono $G$ ?
Questo problema ha applicazioni diverse dalla logica delle partizioni (il doppio della logica dei sottoinsiemi )?
Questo problema ha un nome ben definito?

Dati i vari fraintendimenti indicati dai commenti, ecco alcune immagini per illustrare questi concetti. Se hai un'idea per una terminologia più facile da capire (invece di "copertura", "relazione di equivalenza", "unione disgiunta di cricche" e "unione non necessariamente" di set di bordi), sentiti libero di farmelo sapere.

Ecco una foto di un grafico e una relazione di equivalenza che lo copre:

Ecco un'immagine di un grafico e due relazioni di equivalenza che lo riguardano:
Dovrebbe essere abbastanza ovvio che sono necessarie almeno due relazioni di equivalenza.

Ecco un'immagine di un grafico e tre relazioni di equivalenza che lo riguardano:
è meno ovvio che sono necessarie almeno tre relazioni di equivalenza. Lemma 1.9 di Dual of the Logic of Subset può essere utilizzato per dimostrare che ciò è vero. La generalizzazione di questo lemma alle operazioni nand con più di due input è stata la motivazione di questa domanda.

algorithms graph-theory clique

— Thomas Klimpel
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È un noto problema NP-Complete . en.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_problem

— gardenhead

@StephenBly Forse è un problema ben noto, ma il link di Wikipedia che hai dato non mi aiuta davvero. L'articolo parla di un problema di copertura dei vertici, ma la domanda qui riguarda un problema di copertura dei bordi. Si noti inoltre che una relazione di equivalenza non è una cricca, ma un'unione disgiunta di cricche.

— Thomas Klimpel,

Cosa intendi per relazione di equivalenza che è un'unione disgiunta di cricche? Il set di vertici rappresenta gli elementi e un bordo indica che due elementi sono equivalenti. Se questa non è la rappresentazione che stai usando, dovresti chiarire.

— gardenhead,

@StephenBly Non penso che sia lo stesso problema, il problema della copertura della cricca richiede il numero minimo di cricche che copre i vertici del grafico, qui cerchiamo il numero minimo di relazioni di equivalenza per coprire i bordi del grafico. In questo caso è facile vedere che il limite superiore è , in quanto possiamo partizionare qualsiasi grafico di vertici in al massimo corrispondenze.

n - 1

$n-1$

n

$n$

n - 1

$n-1$

— Chao Xu,

@YuvalFilmus La domanda pone il minor numero di relazioni di equivalenza la cui unione è esattamente la relazione limite del grafico dato, non la cui unione include semplicemente il grafico dato.

— David Richerby,

Risposte:

Il problema è noto come problema di copertura dell'equivalenza nella teoria dei grafi. È superiore delimitato dal numero di copertura della cricca (la raccolta minima di cricche in modo tale che ciascun bordo del grafico sia in almeno una cricca). Ci sono molti problemi e definizioni simili; bisogna stare molto attenti qui. Questi due numeri sono indicati rispettivamente da e . $\text{eq}(G)$ $\text{cc}(G)$

Esistono classi di grafici speciali in cui è noto il valore esatto o un buon limite superiore per entrambi i numeri. In generale, per quanto ne so, i migliori limiti sono dati da Alon [1]:

\log_{2} n - \log_{2} d \leq eq (G) \leq cc (G) \leq 2 e^{2} (Δ + 1)^{2} \ln n,

$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$

dove è il grado massimo di . A proposito, è sempre possibile una copertura con triangoli e bordi (cfr. Teorema di Mantel), e questo è facile da trovare anche algoritmicamente. $\Delta$ $G$ $\lceil n^2/4 \rceil$

Non sorprende che calcolare entrambi i numeri sia . Anche per i grafici divisi, il calcolo è -hard (ma può essere approssimato all'interno di una costante additiva 1) come mostrato in [2]. È anche difficile calcolare grafici in cui due triangoli non hanno un vertice in comune [3]. $\sf NP$ $\text{eq}(G)$ $\sf NP$

[1] Alon, Noga. "Coprendo grafici per il numero minimo di relazioni di equivalenza." Combinatorica 6.3 (1986): 201-206.

[2] Blokhuis, Aart e Ton Kloks. "Sull'equivalenza che copre il numero di splitgraph." Lettere per l'elaborazione delle informazioni 54.5 (1995): 301-304.

[3] Kučera, Luděk, Jaroslav Nešetřil e Aleš Pultr. "Complessità della dimensione tre e alcune relative caratteristiche di copertura dei bordi dei grafici." Theoretical Computer Science 11.1 (1980): 93-106.

— Juho
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Corollary 1.3 di [1] è esattamente ciò di cui avevo bisogno (nella versione che si applica ai complementi di un percorso). Ora non ho più una scusa per non scrivere l'articolo sull'implicazione generale "(A, B, C, ...) implicano (Z, Y, X, ...)" (il sequente dal calcolo sequenziale) nella partizione logica e simili logiche non classiche. Ma credo che non lo scriverò per almeno un altro semestre. E forse nel frattempo trovo anche una nuova scusa.

— Thomas Klimpel,

@ThomasKlimpel È fantastico! (Non il fatto che potresti trovare una nuova scusa, ma che questo ti sia stato utile :-))

— Juho

Anche se non conosco il nome di tale problema, posso mostrare che questo problema è NP-difficile.

Per un grafico senza triangoli, tutte le classi di equivalenza devono essere corrispondenti. Il numero minimo di classi di equivalenza che copre il grafico è uguale all'indice cromatico del grafico.

Secondo questo articolo , trovare l'indice cromatico per un grafico privo di triangoli è NP-completo.

— Chao Xu
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