Perplesso dal teorema di Rice

Riepilogo: secondo il teorema di Rice, tutto è impossibile. Eppure, faccio queste cose apparentemente impossibili tutto il tempo!

Naturalmente, il teorema di Rice non dice semplicemente "tutto è impossibile". Dice qualcosa di più specifico: "Ogni proprietà di un programma per computer non è calcolabile".

(Se vuoi dividere i peli, ogni proprietà "non banale". Cioè, le proprietà che tutti i programmi possiedono o nessun programma possiedono sono banalmente calcolabili. Ma qualsiasi altra proprietà non è calcolabile.)

Questo è ciò che dice il teorema, o sembra dire. E presumibilmente un gran numero di persone molto intelligenti ha verificato attentamente la correttezza di questo teorema. Ma sembra sfidare completamente la logica! Esistono numerose proprietà dei programmi che sono banali da calcolare !! Per esempio:

• Quanti passaggi esegue un programma prima di interrompere? Decidere se questo numero è finito o infinito è precisamente il problema Halting, che non è calcolabile. Decidere se questo numero è maggiore o minore di qualche finito è banale! Basta eseguire il programma per un massimo di n passaggi e vedere se si interrompe o meno. Facile!$n$$n$

• Allo stesso modo, il programma utilizza più o meno di unità di memoria nelle sue prime m fasi di esecuzione? Trivialmente calcolabile.$n$$m$

• Il testo del programma menziona una variabile chiamata ? Una banale analisi testuale rivelerà la risposta.$k$

• Il programma invoca il comando ? Ancora una volta, scansiona il testo del programma cercando quel nome di comando.$\sigma$

Vedo un sacco di proprietà che fanno sembrare non calcolabile pure; ad esempio, quante aggiunte esegue un'esecuzione completa del programma? Bene, è quasi lo stesso che chiedere quanti passaggi esegue il programma, che è praticamente il problema di Halting. Ma sembra che ci siano un sacco di proprietà del programma che è molto, molto facile da calcolare. Eppure, il teorema di Rice insiste sul fatto che nessuno di loro è calcolabile.

Cosa mi sto perdendo qui?

Ai fini di questa discussione, un "programma" è un pezzo di codice che accetta sempre un numero intero come input e viene eseguito per sempre o restituisce un numero intero. Diciamo che due programmi e g sono estensivamente uguali se calcolano la stessa funzione, vale a dire, per ogni numero n entrambi f ( n ) e g ( n ) funzionano per sempre, oppure entrambi terminano e producono lo stesso numero.$f$$g$$n$$f(n)$$g(n)$

Una proprietà estensiva dei programmi è una proprietà che rispetta l'uguaglianza estensiva, cioè se f e g sono estensivamente uguali allora entrambi hanno la proprietà P o entrambi non ce l'hanno.$P$$f$$g$$P$

Ecco alcuni esempi di proprietà non estensionali:

1. Il programma si arresta in passaggi. (Possiamo sempre modificare un programma in modo estensivamente uguale che funzioni più a lungo.)$n$
2. Il programma utilizza meno di celle di memoria nelle prime m fasi di esecuzione. (Possiamo sempre modificare un programma in modo estensivamente uguale in modo che utilizzi un po 'di memoria senza una buona ragione.)$n$$m$
3. Il testo del programma menziona una variabile denominata k. (Possiamo rinominare le variabili.)
4. Il programma invoca il comando . Questo può dipendere un po 'da cosa sia σ , ma se è qualcosa che può essere simulato in qualche modo, allora possiamo eludere σ e avere ancora un programma che è estensivamente uguale a quello originale.$\sigma$$\sigma$$\sigma$

Sono sicuro che hai notato che ho elencato con precisione i tuoi presunti contro-esempi al teorema di Rice, che dice:

Teorema (Rice): una proprietà estensibile calcolabile dei programmi contiene tutti i programmi o nessuno.

C'è un altro modo per spiegarlo: devi distinguere tra un programma e la funzione che calcola. Molti programmi diversi calcolano la stessa funzione (sono tutti ugualmente estensivi). Il teorema di Rice riguarda le proprietà delle funzioni, non le proprietà dei programmi che le calcolano.

Incomprensione fondamentale:

Ogni proprietà di un programma per computer non è calcolabile

$\emptyset \subset P \subset \mathsf{RE}$

$\qquad \displaystyle \{ \langle M \rangle \mid f_M \in P \}$

$P$

Il teorema di Rice si occupa delle proprietà semantiche (proprietà della funzione calcolata da un programma, ad esempio dominio o intervallo di valori). Ciò a cui ti riferisci sono le proprietà sintattiche (proprietà del programma , come il runtime o il numero di variabili utilizzate).

Non sembra essere molto noto per le proprietà sintattiche; vedi questa domanda .