Posso avere un "tipo di coprodotto dipendente"?

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Sto leggendo il libro HoTT e ho una domanda (probabilmente molto ingenua) sulle cose nel primo capitolo.

Il capitolo introduce il tipo di funzione e quindi lo generalizza rendendo dipendente da

f : UN \to B

$f:A\to B$

B

$B$

x : A

$x:A$

e questo è chiamatotipo di funzione dipendente.

B : UN \to U, g : \underset{X : UN}{Π} B (X)

$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\prod_{x:A}B(x)$

Passando, il capitolo introduce quindi il tipo di prodotto e quindi lo generalizza rendendo dipendente da

f : UN \times B

$f:A\times B$

B

$B$

x : A

$x:A$

e questo è chiamatotipo di coppia dipendente.

B : UN \to U, g : \underset{X : UN}{Σ} B (X)

$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\sum_{x:A}B(x)$

Posso sicuramente vedere uno schema qui.

Passando, il capitolo introduce quindi il tipo di coprodotto e ... combobreaker ... non si discute della versione dipendente di questo tipo.

f : UN + B

$f:A+B$

C'è qualche restrizione fondamentale su questo o è irrilevante per l'argomento del libro? In ogni caso qualcuno può aiutarmi con intuizione sul perché funzione e tipi di prodotto? Cosa rende quei due così speciali da poter essere generalizzati a tipi dipendenti e poi usati per costruire tutto il resto?

type-theory dependent-types homotopy-type-theory

— Kostya
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$A \times B$ $A + B$ $A \times B$

$A$ $B$ $P : \mathtt{bool} \to \mathcal{U}$ $P(\mathtt{false}) = A$ $P(\mathtt{true}) = B$ $\sum_{b : \mathtt{bool}} P(b)$ $A + B$ $A \times B$ $\prod_{b : \mathtt{bool}} P(b)$

$\sum$ $\prod$ $\exists$ $\forall$ $\exists$ $\forall$ $\sum$ $\prod$

— Andrej Bauer
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\sum

$\sum$

\prod

$\prod$

A

$A$

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Parlerò di questo più ingegneria del software.

Stai parlando di un tipo di coprodotto i cui ultimi costruttori possono fare riferimento a quelli precedenti (che, sembra abbastanza simile a un prodotto i cui ultimi campi possono fare riferimento a quelli precedenti)? Questo è possibile in Agda dopo l'introduzione di HIT (nella versione 2.6.0):

-- Auxiliary definition: Nat
data Nat : Set where
  zero : Nat
  succ : Nat -> Nat

-- The HIT I was talking about
data Int : Set where
  positive : Nat -> Int
  negative : Nat -> Int
  -- Note this constructor uses `positive` and `negative`.
  zeroPath : positive zero ≡ negative zero

Seguendo questo documento , se il verificatore del tipo controlla le definizioni definite utilizzando la sintassi presentata nella figura "(26)", credo che sia abbastanza semplice supportare "coprodotti dipendenti".

— Ice 1000
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