Che cos'è

Sto guardando il calcolo delle costruzioni e il suo posto nel cubo Lambda .

Se capisco correttamente, ogni asse del cubo può essere considerato come l'aggiunta di un'altra operazione che coinvolge i tipi nel calcolo tipizzato in modo semplice, $\lambda_\to$ . Il primo asse aggiunge operatori da tipo a termine, i secondi operatori da tipo a tipo e la terza tipizzazione dipendente o operatori da termine a tipo. Il CoC ha tutti e tre.

Tuttavia, il CoC introduce un termine $Prop$ e afferma che $Prop : Type$ dalle regole di inferenza , ma non viene altrimenti utilizzato. Capisco che è per le proposizioni omonime, ma le proposizioni logiche non sono definite in termini di esso.

Potresti spiegarmi cosa $Prop$ è per, dove / quando appare, e spiegare in termini di assi del cubo (se effettivamente è possibile farlo)?

Nella teoria tradizionale dei tipi di Martin-Löf non vi è alcuna distinzione tra tipi e proposizioni. Questo va sotto lo slogan "proposizioni come tipi". Ma a volte ci sono ragioni per distinguerli. Il CoC fa esattamente questo.

$$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$$ $\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Type}_3$ $$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$$ $\prod$$\prod_{x : A} B(x)$$A$$B(x)$

1. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
2. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
3. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$$
4. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$$

La più interessante è la differenza tra il secondo e il quarto caso. Il quarto regole dice che se è nel universo -esimo e è nella universo esimo, allora il prodotto è nel universo -esimo. Ma la seconda regola ci dice che non è solo "un altro universo in fondo", perché atterra in non appena fa, non importa quanto grande è. Questo è impredicativo perché ci consente di definire elementi di$A$$i$$B(x)$$j$$\max(i,j)$$\mathsf{Prop}$$\prod_{x : A} B(x)$$\mathsf{Prop}$$B(x)$$A$$\mathsf{Prop}$quantificando su stesso.$\mathsf{Prop}$

Un esempio concreto sarebbe contro Il primo prodotto vive in , ma il secondo è in (e non in , anche se stiamo quantificando su un elemento di ). In particolare, ciò significa che uno dei possibili valori di è stesso.

$$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$$ $$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$$ $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_1$$A$$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$