Le funzioni non calcolabili diventano asintoticamente più grandi?

Ho letto dei numeri di castori occupati e di come crescono asintoticamente più grandi di qualsiasi funzione calcolabile. Perché è così? È a causa della non calcolabilità della funzione di castoro occupato? In tal caso, allora tutte le funzioni non calcolabili diventano asintoticamente più grandi di quelle calcolabili?

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Ottime risposte di seguito, ma vorrei spiegare in inglese più semplice cosa ho capito di loro.

Se esisteva una funzione calcolabile f che cresceva più velocemente della funzione di castoro occupato, allora ciò significa che la funzione di castoro occupato è limitata da f. In altre parole, una macchina turing dovrebbe semplicemente correre per f (n) molti passaggi per decidere il problema di arresto. Poiché sappiamo che il problema dell'arresto è indecidibile, il nostro presupposto iniziale è sbagliato. Pertanto, la funzione di castoro occupato cresce più velocemente di tutte le funzioni calcolabili.

Se si prende qualsiasi set non numerabile di numeri naturali, la funzione caratteristica dell'insieme accetta solo i valori ed è non calcolabile. Quindi non accade che ogni funzione non calcolabile cresca molto rapidamente, possono anche essere limitate.$\{0,1\}$

La funzione Busy Beaver cresce più rapidamente di ogni funzione calcolabile perché è costruita per farlo. La prova che è non calcolabile procede dimostrando innanzitutto che cresce più velocemente di qualsiasi funzione calcolabile.

Più in generale, dire che un set ha "grado privo di iperimmune" se ogni funzione calcolabile da A è delimitata da una funzione calcolabile. Certamente ogni set calcolabile ha un grado privo di iperimmune. È noto che ci sono anche molti insiemi non calcolabili che hanno un grado privo di iperimmune. Quindi non è vero che tutto ciò che non è calcolabile dovrà calcolare una funzione in rapida crescita. $A \subseteq \mathbb{N}$$A$

Tuttavia, è anche possibile che un reimpostazione non calcolabile non abbia un grado privo di iperimmune . Se è re, ed elencato dall'indice e , la funzione f tale che f ( n ) = k se e enumera n in k passi, e f ( n ) = 0 se e non enumera n , è calcolabile da B ma questo La funzione è limitata da una funzione calcolabile se e solo se B è calcolabile.$B$$e$$f$$f(n) = k$$e$$n$$k$$f(n) = 0$$e$$n$$B$$B$

Se una funzione cresce più veloce (o più lento) di qualsiasi funzione in un insieme F di funzioni, che è f ∈ w ( g ) (o o ( g ) ) per tutte le funzioni g ∈ F , allora chiaramente f ∉ F . Questo è ciò che viene utilizzato per mostrare che la funzione di beaver occupato non è calcolabile. Un altro esempio è la prova che la funzione - calcolabile e totale - di Ackermann non è ricorsiva primitiva.$f$$F$$f \in \omega(g)$$o(g)$$g \in F$$f \notin F$

Il contrario non regge necessariamente. La funzione del problema Halting accetta valori in quindi è in O ( 1 ) ¹; chiaramente ci sono funzioni calcolabili che crescono sempre più velocemente.$\{0,1\}$$O(1)$

Esistono certamente serie di funzioni per le quali il runtime è sia un criterio di appartenenza necessario sia sufficiente, vale a dire quelle che sono caratterizzate dal runtime, come

.$\qquad \displaystyle \mathrm{Poly} = \{f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \exists k.\, f \in O(n^k)\}$

1. Questo ha solo una quantità limitata di senso. Il parametro della funzione HP è una codifica della macchina di Turing e un numero naturale; le sue dimensioni non misurano quanto sia complicato decidere di fermarsi.