Set indipendente massimo di un grafico bipartito

Sto cercando di trovare il massimo set indipendente di un grafico biparite.

Ho trovato quanto segue in alcune note "13 maggio 1998 - Università di Washington - CSE 521 - Applicazioni del flusso di rete" :

Problema:

Dato un grafo bipartito $G = (U,V,E)$ , trovare un insieme indipendente $U' \cup V'$ , che è il più grande possibile, dove $U' \subseteq U$ e $V' \subseteq V$ . Un set è indipendente se non ci sono bordi di $E$ tra gli elementi del set.

Soluzione:

Costruisci un diagramma di flusso sui vertici $U \cup V \cup \{s,t\}$ . Per ogni fronte $(u,v) \in E$ esiste un bordo di capacità infinita da $u$ a $v$ . Per ogni $u \in U$ , v'è un fronte capacità unitaria da $s$ ad $u$ , e per ogni $v \in V$ , v'è un fronte capacità unitaria da $v$ a $t$ .

Trova un taglio capacità finita $(S,T)$ , con $s \in S$ e $t \in T$ . Let $U' = U \cap S$ e $V' = V \cap T$ . L'insieme $U' \cup V'$ è indipendente poiché non vi sono bordi di capacità infinita che attraversano il taglio. La dimensione del taglio è $|U - U'| + |V - V'| = |U| + |V| - |U' \cup V'|$. Questo, al fine di rendere il set indipendente il più grande possibile, rendiamo il taglio il più piccolo possibile.

Quindi prendiamo questo come grafico:

A - B - C
    |
D - E - F

Possiamo dividerlo in un grafico bipartito come segue $(U,V)=(\{A,C,E\},\{B,D,F\})$

Possiamo vedere dalla forza bruta di ricerca che l'unico massima Independent Set è $A,C,D,F$ . Proviamo a lavorare sulla soluzione sopra:

Quindi la matrice di adiacenza della rete di flusso costruita sarebbe:

$$\begin{matrix} & s & t & A & B & C & D & E & F \\ s & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ A & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B & 0 & 1 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 \\ C & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ E & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty \\ F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ \end{matrix}$$

Qui è dove sono bloccato, il più piccolo taglio di capacità finita che vedo è banale: $(S,T) =(\{s\},\{t,A,B,C,D,E,F\})$ con una capacità di 3.

L'uso di questo taglio porta a una soluzione errata di:

$$U' = U \cap S = \{\}$$ $$V' = V \cap T = \{B,D,F\}$$ $$U' \cup V' = \{B,D,F\}$$

Considerando che ci aspettavamo $U' \cup V' = \{A,C,D,F\}$ ? Qualcuno può individuare dove ho sbagliato nel mio ragionamento / lavoro?

Il complemento di un set indipendente massimo è una copertura minima del vertice.

Per trovare una copertura minima del vertice in un grafico bipartito, vedere il teorema di König .

La soluzione fornita è chiaramente errata, come dimostra il controesempio. Si noti che il grafico U + V è un componente collegato dai bordi a capacità infinita. Pertanto ogni taglio valido dovrà contenere tutti A, B, C, D, E, F sullo stesso lato.

Cercando di risalire da dove proviene la soluzione: http://www.cs.washington.edu/education/courses/cse521/01sp/flownotes.pdf cita Network Flows, di Ahuja, Magnanti e Orlin per alcuni dei problemi. Questo libro non è protetto da copyright e scaricabile da http://archive.org/details/networkflows00ahuj ma non sembra contenere questo problema e questa soluzione (cercando ogni occorrenza di "bipartito").

Si noti che il paragrafo di spiegazione della soluzione non mostra che il taglio più piccolo del grafico che costruisce corrisponde all'insieme massimo indipendente. Mostra solo un modo per ottenere un set indipendente.

Eppure, puoi vedere cosa sta cercando di fare l'algoritmo. Ecco a cosa corrisponde l'attuale set indipendente massimo in termini di taglio s, t:

Viene sottolineato il limite di capacità infinita che rompe l'algoritmo.

Non sono sicuro di come fissare l'algoritmo a ciò che era previsto. Forse il costo di un bordo infinito dovrebbe essere zero se va indietro (cioè dove va da S a T, ma attraversa dal lato T al lato S)? Ma è ancora facile trovare il flusso minimo / massimo con questa non linearità? Inoltre, pensando a un modo per passare dalla soluzione di @Jukka Suomela all'algoritmo dalla domanda, c'è una difficoltà a passare dalla corrispondenza massima alla copertura minima del vertice: mentre trovare la corrispondenza massima può essere fatto da un flusso massimo -come algoritmo, come recuperare la copertura minima del vertice usando un algoritmo simile al flusso? Come descritto qui, dopo aver trovato la corrispondenza massima, i bordi tra U e V vengono diretti per trovare la copertura minima del vertice. Quindi, ancora una volta, questo non dimostra che una semplice applicazione di min-cut / max-flow è tutto ciò che serve per risolvere questo problema.

$S$$T$$S$

Il taglio dovrebbe essere sul flusso effettivo, non sulle capacità. Poiché il flusso da s è finito, qualsiasi taglio di {S, T} sarà finito. Il resto è spiegato sopra.

$U$$V$

$G'$$\{A,C,D,F\}$