Mostra che {xy ∣ | x | = | y |, x ≠ y} è privo di contesto

Ricordo di aver incontrato la seguente domanda su un linguaggio che presumibilmente è privo di contesto, ma non sono stato in grado di trovare una prova del fatto. Ho forse frainteso la domanda?

Comunque, ecco la domanda:

Mostra che la lingua L = { x y ∣ | x | = | y | , x ≠ y } è privo di contesto.$L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

Reclamo : L è privo di contesto.$L$

Idea di prova : deve esserci almeno una differenza tra la prima e la seconda metà; diamo una grammatica che si assicura di generarne una e lascia il resto arbitrario.

Prova : per semplicità, supponi un alfabeto binario Σ = { a , b } . La prova si estende prontamente ad altre dimensioni. Considera la grammatica G :$\Sigma = \{a,b\}$$G$

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

È abbastanza chiaro che genera

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

il sospetto può eseguire un'induzione nidificata sopra k e l con il caso distinzione mediante coppie ( x , y ) . Ora, w 2 e v 1 permutano (parlando intuitivamente, w 2 e v 1 possono scambiare simboli perché entrambi contengono simboli scelti indipendentemente dal resto della parola). Pertanto, x ed y hanno la stessa posizione (nelle rispettive metà), che implica L ( G ) = L perché $k$$l$$(x,y)$$w_2$$v_1$$w_2$$v_1$$x$$y$$\mathcal{L}(G) = L$$G$ non impone altre restrizioni alla sua lingua.

Il lettore interessato potrebbe riscontrare due problemi di follow-up:

Esercizio 1 : inventare un PDA per L !$L$

Esercizio 2 : Che dire di { x y z ∣ | x | = | y | = | z | , x ≠ y ∨ y ≠ z ∨ x ≠ z } ?$\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$