Arrotondamento in virgola mobile

Un IEEE-754 numero in virgola mobile <1 (ovvero generato con un generatore di numeri casuali che genera un numero> = 0,0 e <1,0) può mai essere moltiplicato per un numero intero (in forma di virgola mobile) per ottenere un numero uguale o maggiore di che numero intero a causa di arrotondamento?

vale a dire

double r = random() ; // generates a floating point number in [0, 1)
double n = some_int ;
if (n * r >= n) {
    print 'Rounding Happened' ;
}

Ciò potrebbe equivalere a dire che esiste un N e un R tali che se R è il numero più grande inferiore a 1 che può essere rappresentato in IEEE-754, allora N * R> = N (dove * e> = sono IEEE appropriati- 754 operatori)

Questo deriva da questa domanda basata su questa documentazione e sulla funzione casuale postgresql

numerical-analysis floating-point rounding

— Cade Roux
fonte

Puoi dire qualcosa sulla gamma di N, ovvero è abbastanza piccola da essere rappresentata esattamente nella doppia precisione IEEE-754?

— Pedro

@Pedro In questo caso particolare, sì, sarebbe un numero intero piccolo - cioè 10. Suppongo che stai dicendo che se N è un numero intero molto grande con un numero molto grande di cifre significative, potrebbe non essere possibile rappresentare esattamente?

— Cade Roux,

Esattamente, se

, allora

può essere maggiore di

f l (N) > N

$fl(N) > N$

f l (R \times f l (N))

$fl(R\times fl(N))$

R N

$RN$

— Pedro,

Supponendo che sia arrotondato al più vicino e che , quindi sempre. (Fare attenzione a non convertire un numero intero troppo grande.) $N > 0$ $N * R < N$

Sia , dove è il significato e è l'esponente intero. Lasciate e derivate il limite $c 2^{-q} = N$ $c \in [1, 2)$ $q$ $1 - 2^{-s} = R$

N R = c 2^{- q} (1 - 2^{- s}) \leq c 2^{- q} - 2^{- q - s},

$N R = c 2^{-q}(1 - 2^{-s}) \le c 2^{-q} - 2^{-q - s},$

con uguaglianza se e solo se . Il lato destro è inferiore a e, poiché è esattamente unità nell'ultimo posto di , e è esattamente rappresentabile (poiché è normale e non il più piccolo normale) o e il arrotondamento più vicino è in basso. In entrambi i casi, è inferiore a $c = 1$ $N$ $2^{-q - s}$ $0.5$ $N$ $c = 1$ $2^{-q} - 2^{-q - s}$ $N$ $c > 1$ $N * R$ $N$ .

L'arrotondamento verso l'alto può causare un problema, non che debba mai essere selezionato in presenza di utenti ignari. Ecco un po 'di C99 che stampa "0\n1\n"sulla mia macchina.

#include <fenv.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    double n = 10;
    double r = nextafter(1, 0);
    printf("%d\n", n == (n * r));
    fesetround(FE_UPWARD);
    printf("%d\n", n == (n * r));
}

— Tyrone
fonte

- c 2^{- q} 2^{- s} \leq - 2^{- q s}

$- c 2^{-q} 2^{-s} \le - 2^{-q s}$

@Cade Apparentemente non posso fare algebra oggi. volevo dire

2^{- q - s}

$2^{-q - s}$ .

— Tyrone,

Grazie, non ero sicuro che ci fosse un altro passo che mi mancava.

— Cade Roux,