I puzzle "Flow Free" sono NP-difficili?

Un puzzle "Flow Free" è costituito da un numero intero positivo e un insieme di coppie (non ordinate) di vertici distinti nel grafico a griglia tale che ciascun vertice sia al massimo in una coppia. Una soluzione a un tale enigma è un insieme di percorsi non indirizzati nel grafico in modo tale che ciascun vertice si trovi esattamente in un percorso e l'insieme delle estremità di ciascun percorso sia una delle coppie di vertici del puzzle. Questa immagine è un esempio di un puzzle Flow Free e questa immagine è un esempio di soluzione per un puzzle Flow Free diverso. $n$ $n \times n$

Il problema è "Esiste una soluzione a questo puzzle Flow Free?" NP-hard? Importa se viene dato in unario o binario? $n$

np-hard square-grid

— Juho
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Certamente il vincolo difficile sta coprendo tutti i quadrati; in caso contrario, il problema sarebbe risolvibile con un algoritmo a tempo polinomiale per il problema di Menger disgiunto vertice.

— David Eisenstat,

Nella terminologia di Nikoli Puzzles questo è noto come "Nanbarinku" o "Numberlink". La descrizione non menziona sempre esplicitamente tutti i quadrati che devono essere coperti, ma questo è effettivamente il caso di tutte le soluzioni che ho verificato.

Secondo Wikipedia Numberlink il problema è NP completo, con riferimento: Kotsuma, Kouichi; Takenaga, Yasuhiko (marzo 2010), NP-Completeeness and Enumeration of Number Link Puzzle, rapporto tecnico IEICE. Fondamenti teorici del calcolo 109 (465): 1–7

Non ho controllato la stampa fine.

Aggiunto. A seguito di un commento di domotorp , Numberlink di solito ha un vincolo aggiuntivo. Infatti, citando l'eterno Adcock:

Il nostro risultato di durezza può essere paragonato a due precedenti prove di durezza NP: la prova di Lynch del 1975 senza il vincolo "coprire tutti i vertici" e la prova di Kotsuma e Takenaga del 2010 quando i percorsi sono limitati per avere il minor numero possibile di angoli all'interno della loro classe di omotopia.

Adcock et al. Zig-Zag Numberlink è NP-Complete, Journal of Information Processing 23 (2015) 239-245, doi: 10.2197 / ipsjjip.23.239

— Hendrik Jan
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Ciò ha un'ulteriore limitazione, per il problema del PO, vedere doi.org/10.2197/ipsjjip.23.239 .

— domotorp,

@domotorp Grazie! Ho copiato le tue informazioni nella risposta originale.

— Hendrik Jan,

È interessante notare che la planarità del grafico con coordinate fisse è in P, ma l'aggiunta di spazio alla griglia rende NP-difficile. Anche per il grafico bipartito.

— rus9384,