Conteggio delle coppie di inversione

Una classica applicazione di divisione e conquista è quella di risolvere il seguente problema:

Dato un array di elementi distinti e comparabili, conta il numero di coppie di inversione nell'array: coppie tali che e . $a[1\dots n]$ $(i,j)$ $a[i] \gt a[j]$ $i \lt j$

Un approccio a questo è quello di fare un Merge Sort, ma anche contare il numero di coppie di inversione nei sotto-problemi. Durante la fase di unione, contiamo il numero di coppie di inversione che si estendono tra i (due) sotto-problemi e aggiungiamo ai conteggi dei sotto-problemi.

Mentre questo è buono, e fornisce un algoritmo di tempo , questo incasina l'array. $O(n\log n)$

Se abbiamo il vincolo aggiuntivo che l'array è di sola lettura, allora possiamo fare una copia e gestire la copia, o usare una struttura di dati aggiuntiva come un albero binario bilanciato delle statistiche dell'ordine per fare il conteggio, entrambi i quali usano spazio. $\Theta(n)$

La domanda attuale è cercare di migliorare lo spazio, senza influire sul tempo di esecuzione. vale a dire

Esiste un algoritmo di tempo per contare il numero di coppie di inversione, che funziona su un array di sola lettura e utilizza uno spazio sub-lineare (ovvero )? $O(n\log n)$ $o(n)$

Assumi un modello di RAM a costo uniforme e che gli elementi spazio e il confronto tra loro sia . $O(1)$ $O(1)$

Un riferimento farà, ma una spiegazione sarà migliore :-)

Ho provato a cercare sul Web, ma non sono riuscito a trovare una risposta positiva / negativa per questo. Suppongo che questa sia solo una curiosità.

algorithms reference-request arrays

— Aryabhata
fonte

Chan e Pătraşcu danno un algoritmo di tempo

, ma per quanto ne so scremare la carta, hanno bisogno di

spazio.

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Raffaello

Inoltre, Ajtai et al. dimostrare che qualsiasi algoritmo di streaming temporale (esatto)

necessita di

spazio. Tuttavia, sembrano esserci approssimazioni adeguate ai tuoi criteri.

O (n)

$O(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Raffaello

@Raphael: grazie! Se nessuna risposta è in arrivo, il tuo commento sarebbe la risposta migliore finora.

— Aryabhata,

A proposito, sono un po 'confuso dal fatto che Ajtai et al limite inferiore. Il teorema 8 dice "qualsiasi algoritmo", ma il limite inferiore per me sembra essere contrario agli algoritmi di streaming esatti a singolo passaggio, un modello molto limitato

— Sasho Nikolov,

@SashoNikolov: Penso che abbiano impostato globalmente il loro modello su algoritmi di streaming, quindi "qualsiasi" sarebbe limitato a quelli. Spero che il mio corollario - qualsiasi algoritmo

temporale esatto - sia corretto, cioè che qualsiasi algoritmo a tempo lineare possa essere espresso come algoritmo di streaming con costantemente molti passaggi. Staremo a vedere .

O (n)

$O(n)$

— Raffaello

Ecco la risposta di Raffaello:

$o(n\log n)$ $\Omega(n)$ $O(n)$ ha bisogno dell'algoritmo di streaming del tempo $\Omega(n)$ spazio. Tuttavia, sembrano esserci approssimazioni adeguate ai tuoi criteri.

— Yuval Filmus
fonte

Grazie per averlo reso una risposta. Lo darò ancora un po 'di tempo. Il traffico sembra aumentare.

— Aryabhata,