Esiste un algoritmo che esiste in modo dimostrabile anche se non sappiamo cosa sia?

In matematica, ci sono molte prove dell'esistenza che non sono costruttive, quindi sappiamo che esiste un certo oggetto anche se non sappiamo come trovarlo.

Sto cercando risultati simili in informatica. In particolare: c'è un problema che possiamo dimostrare che è decidibile senza mostrare un algoritmo per esso? Cioè sappiamo che può essere risolto da un algoritmo, ma non sappiamo che aspetto abbia l'algoritmo?

Il caso più semplice che conosco di un algoritmo esistente, sebbene non sia noto quale algoritmo, riguarda gli automi a stati finiti.

Il quoziente di una lingua da una lingua è definito come .L 1 L 2 L 1 / L 2 = { x ∣ ∃ y ∈ L 2  tale che  x y ∈ L 1$L_1/L_2$$L_1$$L_2$$L_1/L_2=\{x \mid \exists y\in L_2 \text{ such that } xy\in L_1\}$

È facilmente dimostrato che un set regolare è chiuso sotto il quoziente da un set arbitrario. In altre parole, se è regolare e è arbitrario (non necessariamente regolare), anche è regolare.L 2 L 1 / L $L_1$$L_2$$L_1/L_2$

La prova è abbastanza semplice. Sia essere un FSA che accetta l'insieme regolare , dove e sono rispettivamente l'insieme di stati e l'insieme di stati accettanti e che sia un linguaggio arbitrario. Sia sia l'insieme di stati da cui è possibile raggiungere uno stato finale accettando un stringa da .R Q F L F ′ = { q ∈ Q ∣ ∃ y ∈ $M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$$R$$Q$$F$$L$$F'=\{q\in Q\mid \exists y\in L \;\;\delta(q,y)\in F\}$$L$

L'automa , che differisce da solo nel suo insieme degli stati finali riconosce precisamente . (O vedi Hopcroft-Ullman 1979, pagina 62 per una prova di questo fatto.)M F ′ R /$M'=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F')$$M$$F'$$R/L$

Tuttavia, quando l'insieme non è decidibile, potrebbe non esserci alcun algoritmo per decidere quali stati hanno la proprietà che definisce . Quindi, mentre sappiamo che l'insieme è un sottoinsieme di , non abbiamo alcun algoritmo per determinare quale sottoinsieme. Di conseguenza, mentre sappiamo che è accettato da uno dei possibili FSA, non sappiamo quale sia. Anche se devo confessare, sappiamo in gran parte che aspetto ha.F ′ F ′ Q R 2 | Q $L$$F'$$F'$$Q$$R$$2^{|Q|}$

Questo è un esempio di ciò che a volte viene chiamato una prova quasi costruttiva , che è una prova che una di un numero finito di risposte è quella giusta.

Suppongo che un'estensione di ciò possa essere la prova che una di una serie enumerabile di risposte è quella giusta. Ma non ne conosco nessuno. Né conosco una prova puramente non costruttiva che un problema sia risolvibile, ad esempio usando solo contraddizioni.

Per espandere il commento originale di Hendrick, considerare questo problema

Dato un numero intero c'è una serie di o più 7s consecutivi nell'espansione decimale di ?n $n\ge 0$$n$$\pi$

Questo problema è decidibile, poiché uno dei due casi può ottenere:

1. Esiste un numero intero per il quale l'espansione decimale di contiene una sequenza di 7 s consecutivi, ma non più eseguita.π $N$$\pi$$N$
2. Per ogni , l'espansione di ha una sequenza di 7 secondi consecutivi.π $n$$\pi$$n$

Nel caso (1) un algoritmo decisionale per il problema sarebbe uno dei

Se risponde "no" altrimenti rispondi "sì".$n > N$

e nel caso (2) l'algoritmo sarebbe

Rispondi "si".

Chiaramente ognuno di questi è un algoritmo decisionale; semplicemente non sappiamo quale. Ciò è sufficiente, tuttavia, poiché la decidibilità richiede solo l' esistenza di un algoritmo, non la specifica di quale algoritmo utilizzare.

Ecco una non risposta. Sto postando perché credo sia istruttivo, perché inizialmente ho affermato il contrario e otto persone hanno concordato abbastanza per votare prima che @sdcwc abbia sottolineato l'errore. Non volevo solo modificare la mia prima risposta perché non sono sicuro che molte persone l'avrebbero votata se avessero saputo che era sbagliato.

$S$$S$

$H$$H$