Date n stringhe, una è una sottostringa di un'altra?

Supponiamo che ci venga data una raccolta di stringhe, . Vorrei sapere se una di queste stringhe è una sottostringa di qualsiasi altra stringa nella raccolta. In altre parole, vorrei un algoritmo per la seguente attività: $n$ $S_1,\dots,S_n$

Input: $S_1,\dots,S_n$

Output: tale che è una sottostringa di e , o None se tale esistono $i,j$ $S_i$ $S_j$ $i\ne j$ $i,j$

Esiste un algoritmo efficiente per questo?

Se sostituiamo "sottostringa" con "prefisso", esiste un algoritmo efficiente (ordina le stringhe, quindi esegui una scansione lineare per confrontare le stringhe adiacenti; l'ordinamento assicurerà che le sottostringhe siano adiacenti). Ma sembra più difficile verificare se una stringa è una sottostringa di qualsiasi altra stringa. Un algoritmo ingenuo deve iterare su tutte le coppie , ma ciò richiede test di sottostringa . Esiste un algoritmo più efficiente? $i,j$ $\Theta(n^2)$

Immagino che potremmo chiamare questo "test di sottostringa a tutte le coppie", o qualcosa del genere.

Il mio obiettivo finale è quello di potare la raccolta in modo che nessuna stringa sia una sottostringa di un'altra, rimuovendo ciascuna che è una sottostringa di qualcos'altro nella raccolta.

— DW
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Suggerimento: matrice di suffissi.

— Pseudonimo,

Come nota a , non è corretto se si rimuovono le sottostringhe quando le si trovano. Sarà di meno. Inoltre, è necessario ordinare per lunghezza poiché una stringa più lunga non può apparire in una stringa più corta. Ancora una volta è sbagliato qui.

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Alexis Wilke,

@AlexisWilke, è corretto: questo è il numero di test di sottostringa nel caso peggiore (il caso peggiore è dove nessuna stringa è una sottostringa di un'altra). L'ordinamento per lunghezza ti dà solo un fattore due, che non influisce sugli asintotici.

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— DW

È possibile creare un albero di suffissi in tempo lineare e verificare se esiste un nodo interno che corrisponde a una stringa completa (tempo costante per nodo).

Più in dettaglio, supponiamo che ci vengano date le stringhe . $s_1, \dots, s_n \in \Sigma^*$

Costruisci un albero di suffissi (generalizzato) di con marcatori terminali distinti in coppia . $s_1\$_1, s_2\$_2, \dots, s_n\$_n$ $n$ $\$_1,\dots,\$_n \notin \Sigma$

Usando l'algoritmo di Ukkonen , questo può essere fatto in tempo lineare; lineare nella somma di tutte le lunghezze di stringa.
Supponendo che si etichettano le foglie con se rappresentano il suffisso di , attraversare l'albero e trovare quelle foglie etichettate , cioè le foglie che corrispondono al pieno stringhe. $(i,j)$ $s_i[j..|s_i|]$ $s_i$ $n$ $(i,0)$

Ciò richiede un tempo lineare nella dimensione dell'albero, che a sua volta è lineare nella dimensione dell'input.
Le foglie discendenti del genitore di (che è raggiunto da un bordo etichettato ) rappresentano tutte le partite dal set; ciò deriva dall'invariante di base degli alberi di suffisso. Trova una corrispondenza scendendo a qualsiasi foglia (ma ). $(i,0)$ $\$_i$ $(i,0)$

Questo richiede di nuovo tempo lineare.

I marcatori terminali distinti non sono realmente necessari; una sola utilizzata per terminare tutte le stringhe è abbastanza sufficiente purché si consentano più etichette per foglia.

— Raffaello
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