Dato un insieme di insiemi, trova gli insiemi più piccoli contenenti almeno un elemento di ciascun insieme

Dato un insieme di serie, mi piacerebbe trovare una serie M tale che ogni insieme S a S contiene almeno un elemento di M . Vorrei anche che M contenesse il minor numero possibile di elementi pur rispettando questo criterio, sebbene possa esistere più di una M più piccola con questa proprietà (la soluzione non è necessariamente unica).$\mathbf{S}$$M$$S$$\mathbf{S}$$M$$M$$M$

Ad esempio concreto, supponiamo che l'insieme sia l'insieme delle bandiere nazionali, e per ogni bandiera S in S , gli elementi sono i colori usati nella bandiera di quella nazione. Gli Stati Uniti avrebbero S = { r e d , w h i t e , b l u e } e il Marocco avrebbe S = { r e d , g r e e n } . Quindi $\mathbf{S}$$S$$\mathbf{S}$$S = \{red, white, blue\}$$S = \{red, green\}$$M$sarebbe un insieme di colori con la proprietà che ogni bandiera nazionale utilizza almeno uno dei colori in . ( I colori olimpici blu, nero, rosso, verde, giallo e bianco sono un esempio di tale M , o almeno lo erano nel 1920.)$M$$M$

C'è un nome generale per questo problema? Esiste un algoritmo "migliore" accettato per trovare l'insieme ? (Sono più interessato alla soluzione stessa che all'ottimizzazione del processo per la complessità computazionale.)$M$

Il problema è il noto set di colpire completo problema NP . È strettamente correlato a Set-Cover . La prova della completezza NP si trova nel classico libro di Garey e Johnson .

Se si desidera approssimarlo, è possibile prima tradurre l'istanza in Set-Cover, quindi applicare un algoritmo di approssimazione per Set-Cover. Tuttavia, Set-Cover non può essere approssimato da un fattore costante nel tempo polinomiale, a meno che P = NP come mostrato da Lund e Yannakakis .

Se sei interessato a soluzioni esatte e i tuoi input si comportano bene, ti consiglierei di utilizzare un parametro tracciabile a parametri fissi . Il tempo di esecuzione è qui espresso non solo in termini della lunghezza di input $n$ ma anche in termini di un parametro aggiuntivo $k$ . Se il tempo di esecuzione è $O(f(k)\cdot n^{O(1)})$ , chiamiamo l'algoritmo un algoritmo FPT. Qui, $f(k)$ è una funzione crescente. Quindi se $k$ è costante abbiamo un algoritmo polytime. Il primo capitolo deldi Flum e Grohe , spiega un algoritmo FPT per colpire set (più precisamente per $p$ set di colpire -card). L'algoritmo è facile da implementare e utilizza il metodo degli alberi di ricerca limitati. Tuttavia ha bisogno di molto spazio per spiegare qui, fondamentalmente si suddivide la ricerca necessaria (?) Della forza bruta, in piccoli pezzi (quando $k$ è piccolo).

Un'idea che potrebbe aiutare: se l'intersezione di tutti gli insiemi dentro $\mathbf S$ in non vuoto, quindi puoi scegliere qualsiasi elemento $s$ nell'intersezione e impostare $M = \{s\}$. Se l'intersezione è vuota, trova un elemento (colore)$c$ la cui occorrenza negli insiemi è massima e sostituisce tutti gli insiemi in cui si verifica dal singleton $\{c\}$. Continua fino a quando il conteggio delle occorrenze di ogni elemento è uguale a$1$ e poi impostare $M$all'unione dei set rimanenti. Ad esempio, se$\mathbf S$ è il set di potenza di alcuni set $A$ poi $M = A$. Potrei sbagliarmi comunque.

Dai un'occhiata a "A Theory of Diagnosis from First Principles" di Ray Reiter in cui fornisce un algoritmo per il calcolo dei set di colpi e questa nota aggiuntiva "Una correzione ..." .

L'algoritmo è generalmente noto come algoritmo "hitting set tree", non dovrebbe essere troppo difficile trovare un'implementazione. Hai detto che non eri troppo interessato al runtime, ma ottimizzazioni come la terminazione anticipata delle filiali ecc. Sono piuttosto critiche per l'implementazione e interessanti anche :)

In pratica, uno dei modi migliori (sicuramente uno dei più semplici) per risolvere istanze di Set Cover / Hitting Set è la programmazione di numeri interi misti. Ciò comporta la comunicazione della formula di programmazione dei numeri interi al solutore di tua scelta.