Sfaccettature note del politipo Problema del commesso viaggiatore

Per il metodo di taglio e taglio, è essenziale conoscere molte sfaccettature dei polipropi generati dal problema. Tuttavia, attualmente è uno dei problemi più difficili per calcolare effettivamente tutte le sfaccettature di tali polipropi man mano che crescono rapidamente di dimensioni.

Per un arbitrario problema di ottimizzazione, il politopo usato dai metodi di taglio e taglio o anche dai metodi del piano di taglio è lo scafo convesso di tutti i vertici fattibili. Un vertice è un'assegnazione di tutte le variabili del modello. Come esempio (molto semplice): se si volesse massimizzare $2\cdot x+y$ st $x+y \leq 1$ e $0\leq x,y\leq 1.5$ quindi i vertici $(0,0)$ , $(0,1)$ e $(1,0)$ sono vertici fattibili. $(1,1)$ viola la disuguaglianza $x+y\leq 1.5$ e quindi non è fattibile. Il problema di ottimizzazione (combinatoria) sarebbe quello di scegliere tra i vertici possibili. (In questo caso, ovviamente $(1,0)$ è l'ottimale). Lo scafo convesso di questi vertici è il triangolo con esattamente questi tre vertici. Le sfaccettature di questo semplice polytope sono $x\geq0$ , $y\geq 0$ e $x+y\leq 1$ . Si noti che la descrizione tramite sfaccettature è più accurata del modello. Nella maggior parte dei problemi difficili - come il TSP - il numero di sfaccettature supera il numero di disuguaglianze del modello di diversi ordini di grandezza.

Considerando il problema del commesso viaggiatore, per il quale numero di nodi è il politopo completamente noto e quante sfaccettature ci sono. se non è completo, quali sono i limiti inferiori sul numero di sfaccettature?

Sono particolarmente interessato alla cosiddetta formulazione del percorso hamiltoniano del TSP:

m i n \sum_{i = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{i - 1} c_{i, j} \cdot x_{i, j} + \sum_{j = i + 1}^{n - 1} c_{i, j} \cdot x_{i, j})

$min \sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j})$ st

\forall i \neq j : 0 \leq x_{i, j} \leq 1

$\forall i \neq j:\ \ 0 \leq x_{i,j}\leq 1$

\forall i \neq j x_{i, j} + x_{j, i} \leq 1

$\forall i \neq j\ \ \ x_{i,j}+x_{j,i}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0}^{j - 1} x_{i, j} + \sum_{i = j + 1}^{n - 1} x_{i, j} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{i,j}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0}^{j - 1} X_{j, io} + Σ_{io = j + 1}^{n - 1} X_{j, io} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{j,i}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{j,i}\leq 1$

Σ_{io = 0}^{n - 1} (Σ_{j = 0}^{io - 1} X_{io, j} + Σ_{j = io + 1}^{n - 1} X_{io, j}) = n - 1

$\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}x_{i,j})=n-1$

Se disponi di informazioni su polipropilene di altre formulazioni del TSP, sentiti libero di condividere anche quello.

— stefan
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Personalmente, non sono sicuro del significato di "polipropilene di un problema". Ma poi, ho poca conoscenza della teoria della complessità.

— Raffaello

In realtà non è la teoria della complessità (non sono stato io a taggare questo tag). In realtà non esiste ancora un tag adatto per questo tipo di domanda. Un tag adatto sarebbe il metodo di taglio e taglio o piano di taglio. Aggiungerò alcune informazioni su quale politipo sto parlando a breve

— stefan,

@Raphael: ho aggiornato la domanda, così puoi leggere qualcosa su sfaccettature e polipropilene.

— Stefan,

@stean: Ah, quindi è solo lo spazio di soluzioni fattibili. In tal caso, la ricerca di TSP ha dimensioni chiaramente esponenziali; altrimenti avremmo avuto P = NP secoli fa. Ancora di più, TSP è di solito definito su grafici completi non indirizzati, quindi ce ne sono esattamente

n!

$n!$ soluzioni fattibili. Quindi non vedo cos'altro stai cercando; forse non ho un dettaglio importante della tua domanda. Forse hai scritto l'LP rilassato, non l'IP?

— Raffaello

@Raphael è lo scafo convesso di soluzioni fattibili. hai ragione a meno che P = NP questo scafo convesso abbia esponenzialmente molte sfaccettature. tuttavia, il numero di vertici non ha nulla a che fare con quello: lo scafo convesso dei vettori binari

{0, 1}^{n}

$\{0, 1\}^n$ è il cubo booleano che ha solo

2 n

$2n$ sfaccettature. inoltre, avere esponenzialmente molte sfaccettature non significa anche che non ci sia un politopo di dimensione superiore che proietta su quello dato. ad esempio prendere lo scafo convesso dei vettori base standard, che ha

2^{n}

$2^n$ sfaccettature, ma è la proiezione di un piccolo programma lineare.

— Sasho Nikolov,

Risposte:

Per i limiti asintotici, Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwari e de Wolf hanno recentemente mostrato limiti inferiori esponenziali sul numero di sfaccettature di qualsiasi polytope che si proietta sul polytope TSP (il polytope TSP, essendo lo scafo convesso di soluzioni TSP realizzabili). Questo è più forte di quello che chiedi e implica che anche l'aggiunta di variabili extra non renderà il polytope TSP efficiente rappresentabile.

Il loro articolo è seguito al classico articolo del 1988 di Yannakakis, che ha mostrato lo stesso risultato ma solo per i polipropilene che soddisfano una certa condizione di simmetria.

— Sasho Nikolov
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Grazie per questo link! È certamente un risultato impressionante, anche se sarebbe stato strano avere un politipo carino (= in crescita non esponenziale) per un problema NP.

— Stefan,

la parte sorprendente è riuscire a dimostrarlo :)

— Sasho Nikolov,

@stefan afaik un polytope in crescita polinomiale per un problema NP implicherebbe P = NP come afferma Raffaello sopra ... qualcuno ha visto anche una dichiarazione / discussione su ciò che sarebbe necessario estendere Fiorini et al a una prova P! = NP?

— vzn

la risposta breve è che il risultato riguarda un modello computazionale più debole delle TM con limiti di tempo polifunzionale e vorresti una versione di esso per un modello che è forte come P. per l'evidenza che le formulazioni estese sono più deboli di P, Rothvoss recentemente dimostrato che il polipo corrispondente ha una complessità di estensione esponenziale; tuttavia, le funzioni lineari arbitrarie sul politopo corrispondente possono essere risolte utilizzando l'algoritmo di Edmonds o il metodo ellissoide.

— Sasho Nikolov,

più tecnicamente, ci sono molte ragioni per cui i risultati sono lontani da P vs NP: i risultati sono per una codifica fissa di soluzioni problematiche come vettori e non escludono che una codifica più intelligente possa consentire formulazioni polisize; inoltre, i risultati dicono che per la data codifica, ogni LP compatto fallisce su alcune funzioni oggettive, ma potrebbe essere possibile usare LP diversi per differenti funzioni oggettive; infine, non abbiamo ancora limiti espliciti inferiori rispetto agli SDP, e poi esiste il metodo ellissoide che può risolvere LP di dimensioni esponenziali

— Sasho Nikolov,

Esiste una libreria chiamata SMAPO (abbreviazione di libreria di descrizioni lineari di SMAtutti i casi di POlytopes nell'ottimizzazione combinatoria) per molti polipropi tra cui il TVP simmetrico e il TSP grafico.

Per STSP, questo è l'elenco del numero di sfaccettature per piccoli polipropi

 Nodes in STSP  |  # of facets
----------------+--------------
       6        |         100
       7        |        3437
       8        |      194187
       9        |    42104442
      10        | 51043900866

— stefan
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