Risolvere la relazione di ricorrenza

Voglio dimostrare che la complessità temporale di un algoritmo è pollogaritmica nella scala di input.

La relazione di ricorrenza di questo algoritmo è $T(2n) \leq T(n) + T(n^a)$ , dove $a\in(0,1)$ .

Sembra che $T(n) \leq \log^{\beta}{n}$ per alcuni $\beta$ dipende da $a$ . Ma non posso provare questa disuguaglianza. Come risolvere questa relazione di ricorrenza?

Voglio solo ottenere un polilaritmico limite superiore in n.

asymptotics recurrence-relation

— Qiang Li
fonte

a < 1

$a<1$ , Presumo? Inoltre, hai controllato la nostra domanda di riferimento ? Non penso che il caso specifico di cui stai chiedendo sia esplicitamente trattato lì, ma ci sono molte tecniche descritte.

— David Richerby,

Non esiste un teorema "maestro" per questo tipo di cui sono a conoscenza; cfr questa mia domanda e questa . (cc @DavidRicherby)

— Raffaello

La tua ipotesi è sbagliata. In effetti, non è difficile dimostrarlo $T(n) > 0$ per tutti $n > 0$ , poi $T(n) = \Omega(\log^k n)$ per tutti $k$ . In effetti, perché ciò avvenga, ne abbiamo bisogno per abbastanza grande $n$ noi avremmo

(1 + a^{k}) \log^{k} n = \log^{k} n + \log^{k} n^{a} \geq \log^{k} (2 n),

$(1+a^k) \log^k n = \log^k n + \log^k n^a \geq \log^k (2n),$ o

\sqrt[k]{1 + a^{k}} \log n \geq \log n + \log 2

$\sqrt[k]{1+a^k} \log n \geq \log n + \log 2$ , che vale fino a quando

[\sqrt[k]{1 + a^{k}} - 1] \log n \geq \log 2

$[\sqrt[k]{1+a^k}-1]\log n \geq \log 2$ , e in particolare per abbastanza grande

n

$n$ .

Qual è il corretto ordine di crescita di $T(n)$ ? Per provare a scoprirlo, scrivi $S(n) = T(2^n)$ . La ricorrenza ora diventa

S (n + 1) = S (n) + S (a n) .

$S(n+1) = S(n) + S(an).$ Per grandi

n

$n$ , ci aspetteremmo

S (n + 1) - S (n)

$S(n+1) - S(n)$ essere molto vicino a

S^{'} (n)

$S'(n)$ , e quindi euristicamente ci aspetteremmo

S

$S$ soddisfare

S^{'} (n) = S (a n)

$S'(n) = S(an)$ . Questa equazione sembra un po 'difficile da risolvere, ma è una soluzione approssimativa

S (n) = n^{Θ (\log n)}

$S(n) = n^{\Theta(\log n)}$ . Sostituendo, deduciamo che l'ordine di crescita di

T (n)

$T(n)$ dovrebbe essere qualcosa di simile

(\log n)^{Θ (\log \log n)}

$(\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ .

— Yuval Filmus
fonte

Sembra che

\log^{k} (2 n) = (\log 2 + \log n)^{k}

$\log^k(2n) = (\log 2 + \log n)^k$ . Il limite inferiore non regge.

— Qiang Li,

@QiangLi Grazie per aver individuato l'errore. Il limite inferiore vale, tuttavia, una volta che l'argomento è opportunamente modificato.

— Yuval Filmus,