Non tutti gli alberi Rosso-Nero sono bilanciati?

Intuitivamente, gli "alberi bilanciati" dovrebbero essere alberi in cui i sottoalberi sinistro e destro di ciascun nodo devono avere "approssimativamente lo stesso" numero di nodi.

Ovviamente, quando parliamo di alberi bilanciati rosso-nero * (vedere la definizione alla fine), intendiamo effettivamente che sono bilanciati in altezza e in tal senso, sono bilanciati.

Supponiamo di provare a formalizzare l'intuizione sopra come segue:

Definizione: un albero binario è chiamato -balanced, con , se per ogni nodo , la disuguaglianza $\mu$ $0 \le \mu \leq \frac{1}{2}$ $N$

$μ \leq \frac{| N_{L} | + 1}{| N | + 1} \leq 1 - μ$ $\mu \le \frac{|N_L| + 1}{|N| + 1} \le 1 - \mu$
contiene e per ogni , esiste un nodo per il quale l'istruzione precedente non riesce. è il numero di nodi nel sottoalbero sinistro di e è il numero di nodi sotto l'albero con come radice (inclusa la radice). $\mu' \gt \mu$ $|N_L|$ $N$ $|N|$ $N$

Credo che questi siano chiamati alberi equilibrati in parte della letteratura su questo argomento.

Si può dimostrare che se un albero binario con $n$ nodi è $\mu$ -bilanciato (per una costante $\mu \gt 0$ ), allora l'altezza dell'albero è $\mathcal{O}(\log n)$ , mantenendo così una buona ricerca proprietà.

Quindi la domanda è:

Esiste un $\mu \gt 0$ tale che ogni albero abbastanza grande rosso-nero è bilanciato $\mu$ ?

La definizione di alberi Rosso-Nero che usiamo (da Introduzione agli algoritmi di Cormen et al):

Un albero di ricerca binario, in cui ogni nodo è colorato in rosso o nero e

La radice è nera
Tutti i nodi NULL sono neri
Se un nodo è rosso, entrambi i suoi figli sono neri.
Per ciascun nodo, tutti i percorsi da quel nodo ai nodi NULL discendenti hanno lo stesso numero di nodi neri.

Nota: non contiamo i nodi NULL nella definizione di $\mu$ -balanced sopra. (Anche se credo che non importa se lo facciamo).

data-structures binary-trees search-trees

— Aryabhata
fonte

@Aryabhata: cos'è l'unicità ( ) nella tua modifica? Sto bene con il fatto che implica . Non penso che dovresti trovare l' esatto per dimostrare che l'altezza è . Mi sto perdendo qualcosa?

μ^{'} > μ

$\mu'>\mu$

\frac{1}{3}

$\frac13$

\frac{1}{4}

$\frac14$

μ

$\mu$

O (\log n)

$O(\log n)$

— jmad

Inoltre, è necessaria un'istruzione negativa per fornire una catena di controesempio con un albero per ogni . Qualsiasi catena infinita che non abbia dimensioni decrescenti sarebbe sufficiente, no?

n \in N

$n \in \mathbb{N}$

— Raffaello

@jmad: Senza la modifica di , ogni albero è banalmente in equilibrio e quindi abbiamo una banale nessuna risposta alla domanda. Volevo evitarlo.

μ^{'}

$\mu'$

0

$0$

— Aryabhata,

@Raphael: non capisco. La dimensione del nodo dell'albero è . Stai dicendo che non importa quale albero scegliamo per e che ? Non mi sembra ovvio, ed è questo il problema!

n^{t h}

$n^{th}$

n

$n$

R B_{n}

$RB_n$

μ_{n} \to 0

$\mu_n \to 0$

— Aryabhata,

Una versione precedente di questa domanda affermava che il runtime di un algoritmo ricorsivo su un albero rosso-nero che fa una quantità lineare di lavoro ad ogni passo non è necessariamente . Questa affermazione era errata; Il bilanciamento dell'altezza implica che la profondità di un albero -rosso-nero sia . Pertanto, se si esegue il lavoro ad ogni livello dell'albero, il lavoro totale è .

O (n \log n)

$O(n\log n)$

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— JeffE,

Risposte:

Claim : alberi rosso-neri possono essere arbitrariamente ONU -balanced. $\mu$

Idea di prova : riempire la sottostruttura destra con il maggior numero possibile di nodi e la sinistra con il minor numero possibile di nodi per un dato numero di nodi neri su ogni percorso foglia-radice. $k$

Dimostrazione : definire una sequenza di alberi rosso-neri in modo che abbia nodi neri su ogni percorso dalla radice a qualsiasi foglia (virtuale). Definire con $T_k$ $T_k$ $k$ $T_k = B(L_k, R_k)$

$R_k$ l'albero completo di altezza con il primo, il terzo, ... livello colorato in rosso, gli altri in nero e $2k - 1$
$L_k$ l'albero completo di altezza con tutti i nodi colorati di nero. $k-1$

Chiaramente, tutti i sono alberi rosso-neri. $T_k$

Ad esempio, questi sono , e , rispettivamente: $T_1$ $T_2$ $T_3$

T_1
^{[ fonte ]}

T_2
^{[ fonte ]}

T_3
^{[ fonte ]}

Ora verificiamo che l'impressione visiva del lato destro sia enorme rispetto a quella sinistra. Non conterò le foglie virtuali; non influiscono sul risultato.

La sottostruttura sinistra di è completa e ha sempre altezza e quindi contiene nodi. La sottostruttura destra, invece, è completa e ha altezza e quindi contiene nodi. Ora il valore -balance per la radice è $T_k$ $k-1$ $2^k - 1$ $2k - 1$ $2^{2k}-1$ $\mu$

$\qquad \displaystyle \frac{2^k}{2^k + 2^{2k}} = \frac{1}{1 + 2^k} \underset{k\to\infty}{\to} 0$

che dimostra che non c'è come richiesto. $\mu > 0$

— Raffaello
fonte

No. Considera un albero rosso-nero con la seguente struttura speciale.

La sottostruttura sinistra è un albero binario completo con profondità , in cui ogni nodo è nero. $d$
La sottostruttura destra è un albero binario completo con profondità , in cui ogni nodo a profondità dispari è rosso e ogni nodo a profondità pari è nero. $2d$

È semplice verificare che si tratti di un albero rosso-nero valido. Ma il numero di nodi nella sottostruttura destra ( ) è approssimativamente il quadrato del numero di nodi nella sottostruttura sinistra ( ). $2^{2d+1}-1$ $2^{d+1}-1$

— jeffe
fonte

+1: grazie! Ma il numero di nodi è compreso tra . Possiamo forse 'tamponarli' sufficientemente per ottenere un albero di una determinata dimensione ? (Sembra che dovrebbe essere fattibile).

2^{2 d + 1} + 2^{d + 1} - 1

$2^{2d+1} + 2^{d+1} - 1$

n

$n$

— Aryabhata,

Hai già un controesempio per infinitamente molti , quindi perché preoccuparsi? Ma suppongo che se lo volessi, potresti aggiungere più nodi rossi alla sottostruttura sinistra o estrarre alcuni nodi rossi dalla sottostruttura destra.

n

$n$

— JeffE

@JeffE: Fondamentalmente la catena del controesempio sarebbe quindi un sottoinsieme 'denso', piuttosto che un sottoinsieme 'scarso'. Forse cambierò la formulazione della domanda.

— Aryabhata,