Due definizioni di alberi binari bilanciati

Ho visto due definizioni di alberi binari bilanciati, che mi sembrano diverse.

Un albero binario è bilanciato se per ogni nodo sostiene che il numero di nodi interni nella sottostruttura sinistra e il numero di nodi interni nella sottostruttura destra differiscono al massimo da 1.
Un albero binario è bilanciato se per due foglie qualsiasi la differenza di profondità è al massimo 1.

Fa ogni albero che soddisfa def. 1 soddisfa anche def. 2? E il contrario?

data-structures binary-trees

— Forrest Gump
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Hai provato a provare entrambe le direzioni? Quali sono i tuoi risultati?

— Raffaello

La definizione 1. è anche nota come bilanciamento del peso ¹ e la definizione 2. come bilanciamento dell'altezza .

Il bilanciamento in altezza non implica il bilanciamento del peso; esempi sono sia AVL che Red-Black-Trees. Vedi qui e qui per le prove, rispettivamente.

Il bilanciamento del peso implica però l'equilibrio in altezza. Questo può essere dimostrato mostrando il seguente fatto più forte per induzione (oltre l'altezza): un albero equilibrato in termini di peso è completo su tutti i livelli tranne il più profondo². L'argomento essenziale nella fase induttiva è che i sottotitoli non possono avere una differenza di altezza di più di uno perché - entrambi aventi la proprietà rivendicata dall'ipotesi di induzione - non sarebbero quindi bilanciati in base al peso.

L'articolo fornisce una definizione diversa, più generale.
In altre parole, un tale albero di altezza senza le foglie al livello è un albero perfetto di altezza . $k$ $k$ $k-1$

— Raffaello
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Mi sono appena reso conto che il fatto più forte può essere usato per semplificare inutilmente le prove a cui mi collego.

— Raffaello

Forse è una buona idea incorporare questa realizzazione nella tua risposta.

— Lucertola discreta

@Discretelizard Intendi dire le altre risposte?

— Raffaello

Oh, non mi rendevo conto che quei collegamenti erano risposte su Informatica o che erano le tue risposte. Bene, in ogni caso, tutto quello che volevo dire è che potrebbe essere una buona idea scrivere le prove semplificate. Le risposte collegate sembrano quindi essere il luogo appropriato.

— Lucertola discreta