Quanti cookie nella casella dei cookie? - Stelle piastrellanti

Con le festività natalizie ho deciso di fare delle stelle alla cannella . È stato divertente (e il risultato gustoso), ma il mio secchione interiore si è fatto piccolo quando ho messo il primo vassoio di stelle nella scatola e non si sarebbero adattati in uno strato:

Quasi! C'è un modo in cui avrebbero potuto adattarsi? Quanto bene possiamo piastrellare le stelle, comunque? Dato che si tratta di stelle regolari a sei punte, potremmo certamente usare i famosi tetti esagonali come approssimazione, in questo modo:

^{Incasinato quello in alto a destra, whoops.}

Ma è ottimale? C'è molto spazio tra le punte.

Per questa considerazione, limitiamoci alle scatole rettangolari e alle stelle regolari a sei punte, cioè ci sono trenta gradi (o ) tra ogni punta e gli angoli vicini. Le stelle sono caratterizzate dal raggio interno e dal raggio esterno : rir$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ fonte ]}

Nota che abbiamo esagoni per ed per . Penso che sia ragionevole considerare questi estremi (per i cookie) e limitarci all'intervallo compreso, ovvero .ri=$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$r$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

$r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

Qual è una piastrellatura ottimale per le stelle come sopra descritta? Se non esiste una migliore piastrellatura statica, esiste un algoritmo per trovarne uno efficace?

Lasciami rispondere parzialmente alla tua domanda per il caso esagramma.

È possibile effettuare la seguente piastrellatura

$\hskip1.2in$

Con questo coprirai 12/14 = 6/7 del piano (conta i triangoli nel quadrilatero tratteggiato).

È ottimale? Io la penso così. Anche se non sto fornendo una prova, fornirò alcuni argomenti. Ci si può chiedere, quanto bene possiamo riempire lo spazio (triangolo) tra le punte appuntite. Nella piastrellatura sopra ne riempiamo metà. Possiamo fare di meglio?

$\hskip20mm$

La trama di questa funzione è simile a questa e mostra che la nostra intuizione era corretta.

$\hskip30mm$

quanto segue non è offerto come un attacco definitivo o specifico / superiore a questo problema forse inaspettatamente complesso, ma come ulteriori angoli scientifici / teorici / studio generale non ancora trattati.

1 ^st questa zona è conosciuta / classificato come "bin packing" e questo è un caso 2d. ci sono alcune prove famose della matematica che sono correlate, ad esempio il caso 3d dell'indagine di Keplers sull'imballaggio della sfera che è stato un problema aperto per secoli e "recentemente" risolto con la prova computerizzata di Hales. un esempio di caso 2d che viene utilizzato quotidianamente nell'industria è l'ottimizzazione del layout dei chip. ovviamente questo è diverso dal problema ma può indicare una parte della complessità di questi tipi di problemi. per esempio, non sembra esserci alcuna teoria che richieda / indichi che un caso 2d sarebbe più semplice di un caso 3d. si noti inoltre che un semplice confine rettangolare non aiuta necessariamente a semplificare la soluzione oltre a dire un confine poligonale.

ci potrebbe essere una soluzione analitica se un tipo di definizione / schema di base di "piastrellatura regolare" fosse indicato nella dichiarazione del problema, come il posizionamento su una griglia, ecc. nel qual caso le equazioni di calcolo potrebbero essere derivabili e una ricerca ottimale.

le condizioni del problema (forse controintuitivamente) non sembrano condurre a una soluzione analitica ottimale. questo può essere sorprendente per alcuni ma molto simili problemi di piastrellatura dell'aereo sono noti per essere indecidibili (questo è stato un risultato famoso anni fa e ci sono molti riferimenti e persino ricerche in corso). una differenza chiave tra i problemi decidibili (risolvibili / analitici) e indecidibili è se la piastrellatura è "regolare". il problema sopra riportato si riferisce alle "stelle regolari" ma non alla "piastrellatura regolare". l'altra risposta attuale assume una sorta di piastrellatura o ordine regolare, ma nota che anche definire "piastrellatura regolare" può essere formalmente / matematicamente molto complicato.

problemi come questo sono generalmente abbastanza suscettibili agli algoritmi genetici . un tale algoritmo può trovare imballaggi "molto buoni" che è improbabile che vengano migliorati di molto, e forse alcuni limiti possono essere posti sulla loro ottimalità attraverso metodi molto ingegnosi (cioè devono essere entro un piccolo errore percentuale dell'ottimale), ma non possono provare alcun sono ottimali.

ecco alcuni riferimenti trovati generalmente applicabili direttamente:

• esempio di utilizzo di algoritmi genetici. Sugli algoritmi genetici per il confezionamento di poligoni / Jacobs

• Algoritmi per problemi di imballaggio geometrico e ridimensionamento Tesi di dottorato / Michael Formann 1992, 92p, sec 3.6 Scaling Oggetti a forma di stella x-monotone p30

• ALGORITMO DI IMBALLAGGIO A SCOMPARSA GEOMETRICA PER FORME ARBITRARIE / ARFATH PASHA 2003 Graduate Thesis 87p

• questa domanda su stackexchange è vicina. impacchettare poligoni arbitrari all'interno di un confine arbitrario . è per confini arbitrari

Sebbene questo particolare problema probabilmente non sia stato studiato, tali domande sono state poste da Laszlo Fejes Toth e sono note come problemi di imballaggio. Consiglio vivamente il terzo capitolo del libro di Pach-Agarwal .