n * log n e n / log n rispetto al tempo di esecuzione polinomiale

Comprendo che è più veloce di Θ ( n log n ) e più lento di Θ ( n / log n ) . Ciò che è difficile per me capire è come confrontare effettivamente Θ ( n log n ) e Θ ( n / log n ) con Θ ( n f ) dove 0 < f < 1 .$\Theta(n)$$\Theta(n\log n)$$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n \log n)$$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n^f)$$0 < f < 1$

Per esempio, come facciamo a decidere vs. Θ ( n 2 / 3 ) o Θ ( n 1 / 3$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n^{2/3})$$\Theta(n^{1/3})$

Vorrei avere alcune indicazioni per procedere in questi casi. Grazie.

Se disegni solo un paio di grafici, sarai in buona forma. Wolfram Alpha è una grande risorsa per questo tipo di indagini:

Generato da questo link . Si noti che nel grafico, log (x) è il logaritmo naturale, motivo per cui l'equazione di un grafico sembra un po 'divertente.

è l'inverso di 2 n . Proprio come 2 n cresce più velocemente di qualsiasi polinomio n k indipendentemente da quanto grande un finita k è, registro n crescerà più lentamente rispetto a qualsiasi funzioni polinomiali n k indipendentemente da un diverso da zero quanto piccolo, positivo k è.$\log n$$2^n$$2^n$$n^k$$k$$\log n$$n^k$$k$

vs n k , per k < 1 è identico a: n / log n vs n / n 1 - $n / \log n$$n^k$$k < 1$$n / \log n$$n / n^{1-k}$

come per grandi n , n / log n > n k per k < 1 e ampio n .$n^{1-k} > \log n$$n$$n / \log n > n^k$$k < 1$$n$

Per molti algoritmi, a volte capita che le costanti siano diverse, causando l'una o l'altra è più veloce o più lenta per dimensioni di dati inferiori e non sono altrettanto ordinate per complessità algoritmica.

Detto questo, se consideriamo solo le dimensioni dei dati super-grandi , vale a dire. quale alla fine vince, quindi O(n^f)è più veloce di O(n/log n)per 0 < f < 1.

Gran parte della complessità algoritmica consiste nel determinare quale algoritmo è eventualmente più veloce, quindi è spesso sufficiente sapere che O(n^f)è più veloce di O(n/log n)per 0 < f < 1.

Una regola generale è che la moltiplicazione (o divisione) per log nsarà alla fine trascurabile rispetto alla moltiplicazione (o divisione) n^fper qualsiasi f > 0.

Per dimostrarlo più chiaramente, consideriamo cosa succede quando n aumenta.

   n       n / log n         n^(1/2)
   2        n/ 1              ?
   4        n/ 2             n/ 2
   8        n/ 3              ?
  16        n/ 4             n/ 4
  64        n/ 6             n/ 8
 256        n/ 8             n/16
1024        n/10             n/32

Notate quale diminuisce più rapidamente? È la n^fcolonna.

Anche se ffosse più vicino a 1, la n^fcolonna inizierà solo più lentamente, ma siccome raddoppia, il tasso di cambiamento del denominatore accelera, mentre il denominatore della n/log ncolonna sembra cambiare a un ritmo costante.

Tracciamo un caso particolare su un grafico

Fonte: Wolfram Alpha

Ho selezionato O(n^k)tale che kè abbastanza vicino a 1 (at 0.9). Ho anche selezionato le costanti in modo che inizialmente O(n^k)sia più lento. Tuttavia, si noti che alla fine "vince" alla fine e richiede meno tempo di O(n/log n).

$n^f$$\dfrac{n}{n^{1-f}}$$n^{2/3}=n/n^{1/3}$

$\log n$$n^\varepsilon$$\varepsilon>0$

Quando si confrontano i tempi di esecuzione, è sempre utile confrontarli utilizzando grandi valori di n. Per me, questo aiuta a costruire l'intuizione su quale funzione è più lenta

Nel tuo caso pensa a n = 10 ^ 10 e a = .5

O(n/logn) = O(10^10/10) = O(10^9)
O(n^1/2) = O(10^10^.5) = O(10^5)

Quindi, O (n ^ a) è più veloce di O (n / logn), quando 0 <a <1 ho usato solo un valore, tuttavia, puoi usare più valori per creare intuizione sulla funzione

$f \prec g$

$(2, 10) < (3, 5)$$(2, 10) > (2, 5)$

Applicato al tuo esempio:

$\mathcal{O}(n/\log n) \Rightarrow (1, -1, 0)$

$\mathcal{O}(n^{2/3}) \Rightarrow (2/3, 0, 0)$

$\mathcal{O}(n^{1/3}) \Rightarrow (1/3, 0, 0)$

Potresti dire: i poteri di n dominano i poteri del registro, che dominano i poteri del registro.

Fonte: Concrete Mathematics, p. 441