Perché Randomized Quicksort ha un costo di runtime nel caso peggiore O (n log n)

L'ordinamento rapido randomizzato è un'estensione dell'ordinamento rapido in cui l'elemento pivot viene scelto in modo casuale. Quale può essere la peggiore complessità temporale di questo algoritmo. Secondo me, dovrebbe essere $O(n^2)$ , poiché il caso peggiore si verifica quando il perno scelto casualmente viene selezionato in ordine ordinato o inverso . Ma in alcuni testi [1] [2] la sua complessità temporale peggiore è scritta come $O(n\log{n})$

Che cosa è corretto?

Entrambe le fonti si riferiscono al "tempo di esecuzione previsto nel peggiore dei casi" di Immagino che questo si riferisca al tempo previsto, che differisce dal caso peggiore in assoluto.$O(n \log n).$

Quicksort di solito ha un requisito assoluto di tempo peggiore di . Il caso peggiore si verifica quando, ad ogni passo, la procedura di partizione suddivide una matrice n- lunghezza in matrici di dimensioni 1 e n - 1 . Questa selezione "sfortunata" di elementi pivot richiede chiamate O ( n ) ricorsive, portando a un caso peggiore O ( n 2 ) .$O(n^2)$$n$$1$$n-1$$O(n)$$O(n^2)$

La scelta del pivot in modo casuale o casuale mescolando l'array prima dell'ordinamento ha l'effetto di rendere molto improbabile il caso peggiore, in particolare per array di grandi dimensioni. Vedi Wikipedia per una prova che il previsto requisito di tempo è . Secondo un'altra fonte , "la probabilità che quicksort utilizzi un numero quadratico di confronti durante l'ordinamento di un array di grandi dimensioni sul computer è molto inferiore alla probabilità che il computer venga colpito da un fulmine".$O(n\log n)$

Modificare:

Per il commento di Bangye, è possibile eliminare la sequenza di selezione pivot nel caso peggiore selezionando sempre l'elemento mediano come pivot. Dal momento che trovare la mediana prende tempo, questo dà Θ ( n log n ) nel caso peggiore le prestazioni. Tuttavia, poiché è molto improbabile che quicksort randomizzato inciampi nel caso peggiore, la variante deterministica di quicksort di ricerca mediana viene usata raramente.$O(n)$$\Theta(n \log n)$

Mancava che questi testi parlassero di " tempo di esecuzione previsto nel caso peggiore ", non di "runtime nel caso peggiore".

Stanno discutendo un'implementazione di Quicksort che coinvolge un elemento casuale. Normalmente hai un algoritmo deterministico, cioè un algoritmo che per un dato input produrrà sempre gli stessi identici passaggi. Per determinare il "peggior runtime", si esaminano tutti gli input possibili e si sceglie quello che produce il peggior runtime.

Ma qui abbiamo un fattore casuale. Dato un certo input, l'algoritmo non farà sempre le stesse fasi perché è coinvolta una certa casualità. Invece di avere un runtime per ogni input fisso, abbiamo un "runtime atteso": controlliamo ogni possibile valore delle decisioni casuali e la loro probabilità, e il "runtime atteso" è la media ponderata del runtime per ogni combinazione di decisioni casuali , ma comunque per un input fisso.

Quindi calcoliamo il "runtime previsto" per ogni possibile input e per ottenere il "runtime previsto nel caso peggiore", troviamo l'unico input in cui il runtime previsto è il peggiore. E apparentemente hanno dimostrato che il caso peggiore per il "runtime previsto" è solo O (n log n). Non sarei sorpreso se solo scegliere il primo pivot a caso cambierebbe il runtime previsto nel peggiore dei casi in o (n ^ 2) (piccolo o invece di Big O), perché solo pochi su n pivot porteranno al caso peggiore comportamento.

Si noti che ci sono due cose da considerare aspettative / media: la permutazione di input e i perni (uno per partizionamento).

$n$$\Theta(n \log n)$

$\Theta(n \log n)$

In conclusione, controlla le fonti per quale implementazione usano e quale quantità considerano casuale. risolto nella loro analisi.

$O(n^2)$

Il caso peggiore per quicksort randomizzato sono gli stessi elementi dell'input. Es: 2,2,2,2,2,2

$T(n) = T(n-1) + n$$O(n^2)$