Come si può decidere se

Ci hanno dato il seguente esercizio.

Permettere

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Dimostra che è calcolabile.$f$

Com'è possibile? Per quanto ne so, non sappiamo se contenga tutte le sequenze di cifre (o quali) e un algoritmo non può certamente decidere che non si stia verificando alcuna sequenza . Quindi penso che f non sia calcolabile, perché il problema di fondo è solo semi-decidibile.$\pi$$f$

Ci sono solo due possibilità da considerare.

• $n$$0^n$$\pi$

• $N$$0^N$$\pi$$N$

  Zeros-in-pi(n):
   if (n > N) then return 0 else return 1
  

$N$$n$$\pi$

Nota la sottile differenza con il seguente schizzo di prova proposto da Gallais :

1. Prendi una macchina Turing casuale e un input casuale.
2. O il calcolo continuerà per sempre o si fermerà ad un certo punto e c'è una funzione (costante) calcolabile che descrive ciascuno di questi comportamenti.
3. ???
4. Profitto!

Alex ten Brink spiega:

attenzione a ciò che afferma il teorema di Halting: afferma che non esiste un singolo programma in grado di decidere se un determinato programma si interrompe. Puoi facilmente creare due programmi in modo che uno dei due calcoli se un determinato programma si ferma: il primo dice sempre "si ferma", il secondo "non si ferma" - un programma ha sempre ragione, non possiamo calcolare quale di loro è!

sepp2k aggiunge:

Nel caso dell'esempio di Alex, nessuno degli algoritmi restituirà il risultato giusto per tutti gli input. Nel caso di questa domanda, uno di loro lo farà. Puoi affermare che il problema è decidibile perché sai che esiste un algoritmo che produce il risultato giusto per tutti gli input. Non importa se sai quale sia l'algoritmo. 10

Pubblicando solo una leggera elaborazione sulla risposta di JeffE.

Sappiamo che esistono due funzioni / casi che possono calcolare la funzione f (n):

1. Una funzione che restituisce sempre true (per tutti n, esiste n numero di 0 consecutivi)
2. Una funzione che restituirà vero se n è più piccolo di un intero N, dove N è definito come la lunghezza massima di 0 consecutivi che esistono nel dato numero irrazionale (altrimenti restituisce falso).

Una e solo una di queste funzioni può essere corretta. Non sappiamo quale, ma sappiamo con certezza che esiste una risposta. La calcolabilità richiede l'esistenza di una funzione in grado di determinare la risposta entro un numero limitato di passaggi.

Il numero di passaggi nel caso 1 è banalmente legato alla sola restituzione di 1.

$N$$T_N(n)$$n < N$$N$$N$$T_N(n)$$n < N$

Anche se potrebbe non essere possibile scegliere tra i due casi (sebbene uno sembri più probabile di un altro), sappiamo che uno di essi deve essere esatto.

Come nota a margine: la nostra soluzione suppone che mentre non siamo in grado di determinare quale funzione susciterà un valore corretto, l'essenza della calcolabilità non si basa sulla costruibilità della dimostrazione. L'esistenza pura è sufficiente.

Il passaggio 5 del seguente tentativo di prova è ingiustificato e, di fatto, sbagliato : un controesempio può essere trovato qui . (grazie, Yuval; sembrava la parte più sketchi dello schizzo). Ho lasciato la risposta qui perché penso che l'errore sia istruttivo.

Prima di tutto: la coppia di risposte di JeffE è sufficiente; f è calcolabile in entrambi i modi.

$\pi$
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