Questo linguaggio è definito usando i numeri primi gemelli regolari?

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Permettere

$\qquad L = \{a^n \mid \exists_{p \geq n}\ p\,,\ p+2 \text{ are prime}\}.$

è regolare? $L$

Questa domanda sembrava sospettosa al primo sguardo e mi sono reso conto che è collegato alla congettura dei gemelli primi . Il mio problema è che la congettura non è stata ancora risolta, quindi non sono sicuro di come posso procedere nel decidere che la lingua è regolare.

— Daniil
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Si noti che se

allora

è un quoziente:

(o, è l'insieme dei prefissi di

). In generale, per qualsiasi lingua unaria

la lingua

è regolare.

P = {a^{p} : p, p + 2 \in P}

$P=\{a^p:p,p+2\in\mathbb{P}\}$

L

$L$

L = P / a^{*}

$L=P/a^{\ast}$

P

$P$

P

$P$

P / a^{*}

$P/a^{\ast}$

— sdcvvc,

Una variante divertente è

. Questo è normale se la congettura dei gemelli primi è falsa.

L = {a^{p} : p and p + 2 are prime}

$L = \{ a^p : p \text{ and } p+2 \text{ are prime} \}$

— Yuval Filmus,

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Se la congettura del primo gemello è vera, allora , che è regolare. Se la congettura dei primi gemelli non è vera, allora ci sono finitamente molti primi gemelli; in effetti, esiste una coppia maggiore di numeri primi gemelli . In questo caso, , un linguaggio finito. In entrambi i casi, ottieni un linguaggio regolare, quindi penso che sia sicuro concludere che è un linguaggio normale ... non sapremo quale sia fino a quando la congettura dei primi gemelli non sarà risolta. $L = a^{*}$ $\{p, p + 2\}$ $L = \{a^{n} | n < p + 1\}$ $L$

— Patrick87
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<ha fatto troppa logica intuizionista> La congettura dei gemelli primi potrebbe essere indecidibile?

— Gilles 'SO-smetti di essere malvagio' il

@Gilles È davvero indecidibile il termine corretto qui? O ci sono infiniti numeri primi gemelli o non ce ne sono.

— Zach Langley,

@ZachLangley Non necessariamente: la congettura dei primi gemelli (TP) potrebbe essere indecidibile (nel senso di indipendente dai soliti assiomi matematici) . Ma il mio commento è stato uno scherzo (impossibile da ottenere se non si conosce la logica intuitiva ; in effetti, da "TP o non TP", si può dedurre "

è finito o

è

", quindi

è comunque normale

L

$L$

L

$L$

L = a^{*}

$L=a^*$

L

$L$

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

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Sì, questa lingua è regolare. La congettura dei gemelli primi non deve essere risolta per vedere questo:

Supponiamo che la congettura del primo gemello sia vera, cioè per qualsiasi , possiamo trovare un primo tale che è primo. Quindi, in particolare, , poiché la condizione è sempre vera. Quest'ultima lingua è espressibile da e quindi regolare. $n$ $p \geq n$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \in N \}$ $a^*$

Supponiamo che la congettura dei gemelli primi sia falsa. Quindi esiste qualche tale che esiste un primo tale che è primo, e per ogni non esiste alcun tale che è primo. In questo caso, , che è un linguaggio finito, e quindi regolare. $N$ $p$ $p+2$ $n > N$ $p$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \leq N \}$

Per distinzione caso, concludiamo che è regolare. $L$

— Alex ten Brink
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È regolare in entrambi i casi.

Se ci sono infiniti numeri primi gemelli, allora . $L=\{a^n:n\geq 0\}=L(a^*)$
Se ci sono finiti molti numeri primi gemelli, allora è finito, quindi regolare. $L$

— Janoma
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