Prova della complessità temporale per l'implementazione dell'albero dei segmenti del problema della somma a distanza

Capisco che gli alberi di segmento può essere utilizzato per trovare la somma di sub matrice di . E questo può essere fatto in tempo secondo il tutorial qui .O ( registro n $A$$\mathcal{O}(\log n)$

Tuttavia, non sono in grado di dimostrare che il tempo di interrogazione è effettivamente . Questo link (e molti altri) dicono che possiamo dimostrare che ad ogni livello, il numero massimo di nodi elaborati è e quindi .4 O ( 4 log n ) = O ( log n $\mathcal{O}(\log n)$$4$$\mathcal{O}(4 \log n) = \mathcal{O}(\log n)$

Ma come possiamo dimostrarlo, forse per contraddizione?

E se fosse così, se dovessimo usare gli alberi di segmenti per la somma a distanza di array di dimensioni superiori, come sarebbe estesa la dimostrazione?

Ad esempio, posso pensare di trovare una somma di matrice secondaria dividendo la matrice originale in 4 quadranti (simile a dimezzare gli intervalli in matrici lineari) costruendo un albero di segmenti di quadrante ma la prova mi sfugge.

L'affermazione è che ci sono al massimo nodi che sono espansi ad ogni livello. Lo dimostreremo per contraddizione.$2$

Considera l'albero dei segmenti riportato di seguito.

Diciamo che ci sono nodi che sono espansi in questo albero. Ciò significa che l'intervallo va dal nodo più colorato a sinistra al nodo più colorato a destra. Si noti che se l'intervallo si estende fino al nodo più a destra, viene coperto l'intero intervallo del nodo centrale. Pertanto, questo nodo restituirà immediatamente il valore e non verrà espanso. Pertanto, dimostriamo che ad ogni livello, espandiamo al massimo nodi e poiché ci sono livelli , i nodi che vengono espansi sono2 log n 2 ⋅ log n = Θ ( log n$3$$2$$\log{n}$$\boxed{2 \cdot \log{n} = \Theta\left( {\log{n}} \right)}$