La prova di indecidibilità del problema Halting tradisce invertendo i risultati?

Ho difficoltà a capire il problema di arresto di Turing.

La sua prova presuppone che esista una macchina magica grado di determinare se un computer si fermerebbe o si riavvierebbe per sempre per un dato input. Quindi colleghiamo un'altra macchina che inverte l'output e abbiamo una contraddizione e quindi H non può esistere.$H$$H$

La mia preoccupazione è che sembra che stiamo dicendo che una risposta è sbagliata perché l'abbiamo invertita. Come analogia, se esiste una macchina chiamata tale che genera una risposta corretta su alcuni ingressi e una risposta errata su altri. Quindi colleghiamo un'altra macchina che inverte il risultato di A in modo che la combinazione delle due macchine sia in contraddizione con la definizione di A. Le due macchine ora generano risposte errate per gli input che A è definito per produrre risposte corrette ed emette risposte corrette per input che A è definito per produrre risposte errate. Questo sarebbe chiamato una contraddizione, e quindi non esiste una macchina che produce una risposta corretta su alcuni input e risposte errate su altri?$A$$A$$A$$A$$A$

Versione breve: gli output delle macchine non sono corretti o errati, sono solo contraddittori, il che dimostra che la macchina iniziale che decide se la macchina di input si ferma sulla stringa data o no non può esistere.

Versione lunga : prima disegneremo la prova (o almeno una versione di essa - ce ne sono molte).

1. Supponiamo di avere una macchina di Turing che decide se le macchine di Turing M ferma sull'ingresso x oppure no.$\mathrm{HALT}(\langle M\rangle, x)$$M$$x$
2. Utilizzando si costruisce una macchina F L I P ( ⟨ M ⟩ , x ) che utilizza H A L T per verificare se M ferma su x oppure no, poi fa il contrario, cioè se M ferma su x , F L I P loop, se M non si ferma su x , F L I P si ferma.$\mathrm{HALT}$$\mathrm{FLIP}(\langle M\rangle, x)$$HALT$$M$$x$$M$$x$$\mathrm{FLIP}$$M$$x$$\mathrm{FLIP}$
3. Infine creiamo un TM (I finito i nomi buoni), che prende la descrizione di una MT e corre F L I P con ingresso ( ⟨ M ⟩ , ⟨ M ⟩ ) , outputting qualunque F L I Uscite $\mathrm{C}(\langle M \rangle)$$\mathrm{FLIP}$$(\langle M \rangle, \langle M \rangle)$$\mathrm{FLIP}$

È importante notare che finché esiste il decisore , ciascuno di questi passaggi è semplice da implementare; F L I P Deve solo usare H A L T controlla cosa fare, e C solo duplica il suo ingresso passi a F L I P .$\mathrm{HALT}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{HALT}$$\mathrm{C}$$\mathrm{FLIP}$

La contraddizione nasce quando guardiamo a ciò che accade quando si corre . O C arresta quando si dato come input o meno. H A L T deciderà questo:$\mathrm{C}(\langle\mathrm{C}\rangle)$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$

• Se ferma sull'ingresso ⟨ C ⟩ , H A L T dirà Y e s , ma poi F L I P si ciclo, dunque C cappio volontà, contraddicendo H A L T .$\mathrm{C}$$\langle\mathrm{C}\rangle$$\mathrm{HALT}$$\mathsf{Yes}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$
• Se loop sull'ingresso ⟨ C ⟩ , H A L T dirà N o , ma poi F L I P arresterà, quindi C anche fermata, contraddicendo H A L T .$\mathrm{C}$$\langle\mathrm{C}\rangle$$\mathrm{HALT}$$\mathsf{No}$$\mathrm{FLIP}$$\mathrm{C}$$\mathrm{HALT}$

Poiché ciascuno dei passaggi della costruzione è chiaramente corretto, possiamo solo concludere che non può esistere; abbiamo costruito un caso in cui, indipendentemente da ciò che dice, H A L T non può decidere cosa produrre, cioè il problema è indecidibile. Giusto per martellare un po 'sul punto, H A L T non può esistere - cioè non può esserci una TM che decide il problema di arresto - perché c'è almeno un caso che abbiamo costruito esplicitamente dove non c'è logicamente possibile risposta. Ricorda che un decisore non è autorizzato a produrre la risposta sbagliata e deve produrre qualcosa, ma nel caso in cui abbiamo costruito, entrambe le possibili risposte sono sbagliate.$\mathrm{HALT}$$\mathrm{HALT}$$\mathrm{HALT}$

Stai discutendo due diversi significati di "contraddire".

Nella tua analogia, la macchina A e la sua modifica capovolta si contraddicono a vicenda solo nel senso che le loro uscite sono sempre diverse. (Ad esempio, potrebbero implementare due funzioni di test su numeri interi, " x ≤ 5?" E " x > 5?") Questa è certamente una cosa che "contraddire" può significare nell'uso quotidiano, ma non è ciò che si intende in termini logici prove.

Nelle prove logiche, significa qualcosa di più forte: qualcosa che è semplicemente impossibile. Ad esempio una funzione che restituisce "vero" su tutti gli ingressi più di 5 e "falso" su tutti gli ingressi meno di 10 - questo è contraddittorio in questo senso più forte, perché, diciamo, 7, il suo output dovrebbe essere sia "vero" e "falso", ma quelli non sono gli stessi. L'argomentazione di Turing mostra che il programma di interruzione è contraddittorio in senso più forte: supponendo che porti a qualcosa di impossibile, o già noto per essere falso.

$x$$x$$f(n)$$n$

$f(m)$

$m$$m$

$m$$P_m$$f(m)+1$$P_m$$P_m$$m$$m$$|m|$$|m|$$m$$|m| \approx \log_{10} m$$T$$P_m$$T + \log_{10} m$$m$$m=2T$$T + \log_{10} m \leq m$$f(m)$$P_m$$f(m) \geq f(m) + 1$. Abbiamo raggiunto una contraddizione.