Dimostrare la chiusura sotto integrazione di lingue accettate dagli automi min-heap

Questa è una domanda di follow-up di questo .

In una precedente domanda sulle macchine a stati esotici , Alex ten Brink e Raphael hanno affrontato le capacità computazionali di un tipo particolare di macchina a stati: automi min-heap. Sono stati in grado di dimostrare che l'insieme delle lingue accettate da tali macchine ($HAL$) non è né un sottoinsieme né un superset dell'insieme di lingue senza contesto. Vista la riuscita risoluzione e l'apparente interesse per tale questione, continuo a porre diverse domande di follow-up.

È noto che le lingue normali sono chiuse in una varietà di operazioni (potremmo limitarci a operazioni di base come unione, intersezione, complemento, differenza, concatenazione, stella di Kleene e inversione), mentre le lingue senza contesto hanno una chiusura diversa proprietà (sono chiuse sotto unione, concatenazione, stella di Kleene e inversione).

HAL è chiuso sotto integrazione?

Reclamo :$\mathrm{HAL}$non è chiuso contro il complemento.

Idea Dimostrazione : Abbiamo concordato che$\mathrm{EPAL}$ (la lingua anche dei palindromi su un alfabeto non unario) non è in $\mathrm{HAL}$. Lo dimostriamo$\overline{\mathrm{EPAL}} \in \mathrm{HAL}$.
Funziona solo per il tipo 1 (come può accettare il tipo 2$\mathrm{EPAL}$); la prova può essere adattata per adattarsi al tipo 2, vedi sotto.

Prova : si noti che

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \overline{\mathrm{EPAL}} &= \{vw : |v|=|w|, v\neq w^R\} \\ &\cup\ \,\{w : |w| \in 2\mathbb{N}\!+\!1\} \end{align*}$

Costruiamo un automa min-heap con due simboli heap $b < a$ che funziona così:

• Nello stato iniziale, decidere in modo non deterministico se la lunghezza dell'ingresso è pari.
• Sul percorso irregolare, utilizzare il controllo finito per accettare l'input se e solo se la sua lunghezza è dispari.
• Sul percorso pari, procedere in questo modo: $$\underbrace{v_1\ \dots\ \mathbf{v_{i}}}_{+a}\ \underbrace{v_{i+1}\ \dots\ v_n}_{+b}\ \underbrace{w_n\ \dots\ w_{i+1}}_{-b}\ \underbrace{\mathbf{w_i}\ \dots\ w_1}_{-a}$$
  • Inizia aggiungendo uno $a$ ammucchiare per ogni simbolo letto.
  • In una posizione determinata in modo non deterministico, conservare il simbolo corrente in controllo finito e iniziare ad aggiungerne uno $b$ (e no $a$) per heap per ogni simbolo letto.
  • In una posizione determinata in modo non deterministico, smettere di aggiungere simboli e consumarne uno $b$ per simbolo di input.
  • Quando tutto $b$vengono consumati, confrontare il simbolo corrente con quello memorizzato nel controllo. Se sono disuguali, continua; altrimenti rifiuta l'input.
  • Consumane uno $a$per simbolo di input. Se l'heap è vuoto allo stesso tempo, l'input termina, accetta la parola; respingere altrimenti.

L'automa min-heap descritto accetta $\overline{\mathrm{EPAL}}$. Come complemento,$\mathrm{EPAL}$, non è dentro$\mathrm{HAL}$, abbiamo dimostrato la richiesta.

Nota: la prova può essere eseguita allo stesso modo con$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$(che è dentro$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL}$) e il suo complemento. Questo si estende sopra il risultato al tipo 2.