Esiste una chiara definizione di "calcolabile" per i modelli di calcolo che non sono completi?

Questo è il seguito di un'altra domanda qui , e spero che non sia troppo filosofico. Come ha sottolineato Raphael in un commento sulla mia domanda precedente, non capisco davvero la definizione di "calcolabile", ma secondo alcuni articoli che leggo, la definizione non è anche molto chiara quando si tratta di modelli di calcolo più deboli di turing macchine a causa della codifica di input e output.

La definizione tipica di turing calcolabile è la seguente:

Definizione 1: Una funzione è chiamata turing calcolabile se esiste una turing machine che calcola usando una codifica adeguata dei numeri naturali come stringhe.$f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$$M$$f$

Le definizioni differiscono in ciò che è esattamente una codifica adatta , ma la maggior parte si riferisce alla codifica binaria , codifica unaria o codifica decimale come quella codifica fissa e adatta. È anche possibile dimostrare che è necessario correggere una codifica per la definizione della calcolabilità del turing. Ma cosa rende speciale, per esempio, la codifica binaria dei numeri naturali in modo che possiamo assiomatizzarla come l'unica codifica adatta? Probabilmente perché si adatta alla nozione intuitiva di cosa significhi coincidenza la calcolabilità .

E se osservassimo i modelli di calcolo più deboli delle macchine di turing? Ad esempio, consideriamo l'insieme delle macchine da "paralizzate" con l'alfabeto che può spostarsi solo a destra, e una definizione di macchina da paralizzare calcolabile che è coerente con quella della calcolatrice da banco: { 0 , 1 $M_c$$\{0,1\}$

Definizione 2: Una funzione è chiamata turing paralizzato calcolabile o calcolabile in se esiste una turing paralizzata che calcola usando una codifica adeguata dei numeri naturali come una stringa.M c M $f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$$M_c$$M$$f$

Se definiamo "codifica adatta" come "codifica binaria", la funzione non è calcolabile in . Se assiomatizziamo la "codifica adatta" come "codifica unaria", allora è calcolabile in . Questo sembra imbarazzante dato il fatto che tutti possono correggere una delle infinite e intuitive codifiche a volontà. Dovrebbe essere chiaro se un modello di calcolo può calcolare o meno senza fare riferimento a una codifica specifica - almeno non ho mai visto nessuno menzionare quale codifica viene utilizzata quando si afferma "i programmi di loop sono più deboli delle macchine di turing".M c f M c$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, n \mapsto n+1$$M_c$$f$ $M_c$$f$

Dopo questa introduzione posso finalmente formulare la mia domanda: come definirebbe "codifiche adatte" e "calcolabilità" per modelli arbitrari di calcolo che non coincidono con la nozione intuitiva di calcolabilità? Questo è possibile nell'ambito della computabilità del turing?

Modifica: ho abbreviato l'introduzione, non ha aggiunto alla domanda.

Un dato di base che ti manca qui è che tutte le codifiche che menzioni sono equivalenti dal punto di vista della computabilità: esiste una funzione calcolabile che mappa la codifica binaria di un numero alla sua codifica unaria o viceversa. Pertanto, ai fini della definizione della calcolabilità, non importa quale di queste codifiche si scelga per i numeri. Basta correggere la tua codifica preferita.

La calcolabilità è al centro una proprietà delle funzioni stringa . Quando si definisce la calcolabilità in qualsiasi altro dominio, è necessario correggere una codifica. In pratica, tutte le codifiche "ragionevoli" sono equivalenti ai sensi del paragrafo precedente, quindi la codifica esatta non ha importanza.$f\colon \Sigma^* \to \Sigma^*$

La codifica, tuttavia, è importante nei modelli di calcolo ristretti. Per fare un esempio estremo, supponiamo che tu consideri le macchine di Turing a tempo limitato: supponi di voler terminare la tua macchina nel tempo per qualche c , dove n è la lunghezza dell'input (come una stringa). Non possiamo più passare dalla codifica binaria alla codifica unaria, poiché la codifica binaria è molto più compatta. Quando parliamo di una funzione calcolabile nel tempo polinomiale di numeri interi , specifichiamo che i numeri interi sono codificati in binario. Anche questa è una scelta un po 'arbitraria, poiché la codifica decimale porterebbe alla stessa nozione di calcolabilità temporale polinomiale.$O(n^c)$$c$$n$

Quindi, per rispondere alla tua domanda, la codifica viene specificata come parte della definizione del modello limitato.

Prima di tutto, non è possibile correggere la "codifica adatta" come stringhe binarie o qualsiasi altra codifica. Questo perché perderai troppi modelli di calcolo, perché diversi modelli di calcolo potrebbero avere modelli di input e output molto diversi. In altre parole, potrebbero non "parlare" stringhe.

Ad esempio, i termini del calcolo lambda non tipizzato sono variabili o l'applicazione di un termine a un altro o un'astrazione di un termine lambda. Input e output sono termini, stringhe arbitrarie. Tuttavia, il calcolo lambda non tipizzato è completo di Turing perché esiste una "codifica adatta" che codifica i numeri naturali come termini lambda di una determinata forma, e sotto questa codifica per ciascuna funzione calcolabile esiste un termine lambda che lo calcola.

Puoi formalizzare la "codifica adatta" se fissi le macchine di Turing come modello di calcolo di riferimento e quindi richiedi che la codifica e la decodifica da e verso le stringhe binarie debbano essere eseguite da una macchina di Turing che si ferma sempre. Ad esempio, una macchina di Turing sarebbe in grado di tradurre un numero naturale come stringa binaria in un termine Lambda che esprime questo numero, simulare la riduzione nel calcolo lambda e tradurre il risultato in una stringa binaria.

Per i modelli di calcolo più semplici mi aspetterei lo stesso approccio: prendere un modello di riferimento di calcolo e fissare una codifica dei numeri naturali, quindi assicurarsi che la codifica e la decodifica siano eseguite da istanze di quel modello semplice. Come hai notato, per le macchine di Turing paralizzate, l'uso di numeri codificati unari e binari non produrrebbe un modello equivalente di calcolo.