Sottografo planare più pesante

Considera il seguente problema.

Dato: un grafico completo con pesi reali non negativi sui bordi.

Attività: trovare un sottografo planare del peso massimo. ("Massimo" tra tutti i possibili sottografi planari.)

Nota: il sottografo a peso massimo sarà una triangolazione; se il grafico completo si trova su vertici, avrà spigoli.$n$$m=3n-6$

Domanda: qual è il miglior algoritmo disponibile per questo problema? Qual è la sua complessità temporale?

Questo è NP-difficile anche per grafici completi ponderati. Per un algoritmo semplice, è possibile calcolare un albero di spanning di peso massimo: annullare i pesi dei bordi ed eseguire l'algoritmo di Kruskal. Questo ti dà un rapporto di prestazione di 1/3 (un albero di spanning ha spigoli e, come noti, un sottografo piano massimo può contenere al massimo spigoli). Per quanto ne so, l'algoritmo in [1] che ha un rapporto di prestazione almeno 25/72 e al massimo 5/12 non è stato notevolmente migliorato (ma vedere quali articoli più recenti lo fanno riferimento).$n-1$$3n-6$

Per i grafici completi il ​​cui peso del bordo obbedisce alla disuguaglianza del triangolo, il rapporto di prestazione dell'algoritmo in [1] è almeno 3/8. L'algoritmo, a mio avviso, è piuttosto coinvolto e può essere eseguito in tempo sui grafici generali. Ci sono alcune varianti più semplici presentate dagli autori con diversi rapporti di prestazione e tempi di autonomia probabilmente migliori.$O(m^{3/2}n \log^6 n)$

[1] Calinescu, G., Fernandes, CG, Karloff, H. e Zelikovsky, A. (2003). Un nuovo algoritmo di approssimazione per trovare sottografi planari pesanti. Algorithmica, 36 (2), 179-205.