Massimizza la distanza tra i nodi k in un grafico

Ho un grafico non ponderato non orientato e voglio selezionare nodi da tale che siano il più possibile accoppiati l'uno dall'altro, in termini di distanza geodetica . In altre parole, devono essere sparsi nel grafico il più possibile.$G$$k$$G$

Let la lunghezza di un percorso più breve tra e in . Ora, per un insieme di vertici , definisci $d(u,v)$$u$$v$$G$$X \subseteq V(G)$

Lascia che il problema SCATTERED SET sia il problema che sull'input $G,k$ chiede di trovare un set di $k$ vertici $X$ massimizzando $d(X)$.

Esiste un algoritmo efficiente che risolve SCATTERED SET?

Non so se esiste un algoritmo del tempo polinomiale (sembra che potrebbe essere NP-difficile), ma qui ci sono alcuni approcci algoritmici plausibili che potresti prendere in considerazione, se devi risolverlo in pratica:

Euristico

Un algoritmo ben esplorato è Furthest Point First (FPF). Ad ogni iterazione, sceglie un punto più lontano dall'insieme di punti selezionato finora. iterate$k$volte. Poiché si tratta di una strategia avida, non c'è motivo di aspettarsi che ciò dia una risposta ottimale o addirittura vicina all'ottimale, ed è stato progettato per ottimizzare una funzione obiettivo leggermente diversa ... ma in alcuni contesti fornisce una ragionevole approssimazione, quindi potrebbe valere la pena provare.

FPF esce dalla letteratura sul clustering basato su grafici ed è stato introdotto nel seguente documento di ricerca:

Teofilo F. Gonzalez. Clustering per ridurre al minimo la distanza massima dell'intercluster . Theoretical Computer Science, vol 38, pagg. 293-306, 1985.

Potresti provare ad esplorare la letteratura sul clustering basato su grafici per vedere se qualcuno ha studiato il tuo problema specifico.

Algoritmi esatti

Se hai questo problema in pratica e hai bisogno di una soluzione ottimale esatta, potresti provare a risolverlo usando un risolutore ILP.

Ecco come. Introdurre variabili 0-o-1$x_i$, dove $x_i$ indica se il $i$è stato selezionato il vertice e variabili 0 o 1 $y_{i,j}$, con il significato previsto che $y_{i,j}=1$ solo se $x_i=1$ e $x_j=1$. Ora massimizza la funzione obiettivo$\sum_{i,j} d(i,j) y_{i,j}$, soggetto ai vincoli $\sum x_i \le k$ e $x_i \ge y_{i,j}$ e $x_j \ge y_{i,j}$. Ora risolvi questo ILP con un solutore ILP standard. Poiché l'ILP è NP-difficile, non vi è alcuna garanzia che questo sia efficiente, ma potrebbe funzionare su alcune istanze problematiche.

Un altro approccio consiste nell'utilizzare MAX-SAT ponderato . In particolare, introdurre variabili booleane$x_i$, dove $x_i$ è vero se il $i$è stato selezionato il vertice e le variabili $y_{i,j}$. La formula è$\phi \land \land_{i,j} y_{i,j}$, dove $\phi$ deve essere vero (le sue clausole hanno un peso $W$ per alcuni molto grandi $W$) e ogni clausola $y_{i,j}$ è dato peso $d(i,j)$. Definisci la formula$\phi$ per essere vero se al massimo $k$ del $x_i$sono vere (vedi qui per i dettagli su come farlo) e se$y_{i,j}=x_i \land x_j$ per tutti $i,j$. Ora la soluzione a questo problema MAX-SAT ponderato è la soluzione al problema originale, quindi puoi provare a lanciare un solutore MAX-SAT ponderato sul problema. Si applicano gli stessi avvertimenti.

No, il problema è NP-completo.

Permettere $(G,k)$essere un'istanza di SET INDIPENDENTE. Costruire$G'$ aggiungendo un vertice universale $u$ per $G$. L'osservazione cruciale è che la distanza tra due vertici in$G$ è 1 in $G'$ se e solo se sono adiacenti in $G$e 2 altrimenti.

Ora, la soluzione ottimale di SCATTERED SET su input $(G',k)$ è $2\binom{k}{2}$ se e solo se $G$ ha un set di dimensioni indipendente $k$.