È determinabile se un automa pushdown riconosce una determinata lingua normale?

Il problema se due automi pushdown riconoscano la stessa lingua è indecidibile. Il problema se un automa pushdown riconosce la lingua vuota è decidibile, quindi è anche decidibile se riconosce una determinata lingua finita. Non è possibile stabilire se la lingua accettata da un automa pushdown sia regolare. Ma ...

... è determinabile se un automa pushdown riconosce una determinata lingua normale?

Nel caso in cui la risposta sia no, il problema diventa decidibile se la lingua regolare data ha l' altezza della stella $1$ ?

Non è possibile stabilire se un PDA riconosce , l'insieme di tutte le stringhe sull'alfabeto di input.$\Sigma^*$

Aggiunto. Non è possibile verificare che $L(G)=\Sigma^*$ come conseguenza del fatto che calcoli "non validi" di una TM possono essere codificati come stringhe di un CFG. Questo è Lemma 8.7 di Introduzione alla teoria degli automi di Hopcroft e Ullman. Gli autori fanno riferimento per questo risultato a Hartmanis (1967), Linguaggi senza contesto e calcoli di macchine di Turing.

$M$$M$$xpy$$uv$$p$$ucpav \vdash uqcbv$$(p,a,q,b,L)$$ucpav \vdash ucbqv$$(p,a,q,b,R)$

$w_0\#w_1^R\#w_2\#w_3^R\# \dots$$w_0 = q_0x$$x$$w_i \vdash w_{i+1}$

$G_M$ $w_i \vdash w_{i+1}$$\{ x\#y^R \mid x,y\in \{a,b\}^* , x\neq y\}$

$M$$G_M$