Esiste una relazione concreta tra il teorema di incompletezza di Gödel, il problema di arresto e le macchine universali di Turing?


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Ho sempre pensato vagamente che la risposta alla domanda di cui sopra fosse affermativa secondo le seguenti linee. Il teorema di incompletezza di Gödel e l'indecidibilità del problema di arresto sono entrambi risultati negativi sulla decidibilità e stabiliti da argomenti diagonali (e negli anni '30), quindi devono in qualche modo essere due modi per vedere le stesse cose. E ho pensato che Turing usasse una macchina universale di Turing per dimostrare che il problema dell'arresto era irrisolvibile. (Vedi anche questa domanda math.SE. )

Ma ora che (insegnando un corso di calcolabilità) guardo più da vicino a queste questioni, sono piuttosto sconcertato da ciò che trovo. Quindi vorrei un aiuto per raddrizzare i miei pensieri. Mi rendo conto che da una parte l'argomentazione diagonale di Gödel è molto sottile: ha bisogno di molto lavoro per costruire un'affermazione aritmetica che può essere interpretata nel dire qualcosa sulla sua derivabilità. D'altra parte, la prova dell'indecidibilità del problema di arresto che ho trovato qui è estremamente semplice e non menziona nemmeno esplicitamente le macchine Turing, per non parlare dell'esistenza delle macchine universali Turing.

Una domanda pratica riguardo alle macchine universali di Turing è se è importante che l'alfabeto di una macchina universale di Turing sia uguale a quello delle macchine Turing che simula. Ho pensato che sarebbe stato necessario per elaborare una corretta discussione diagonale (facendo simulare la macchina), ma non ho trovato alcuna attenzione a questa domanda nella sconcertante raccolta di descrizioni di macchine universali che ho trovato in rete. Se non per il problema dell'arresto, le macchine universali di Turing sono utili in qualsiasi argomento diagonale?

Infine, sono confuso da questa ulteriore sezionedello stesso articolo del WP, in cui si afferma che una forma più debole dell'incompletezza di Gödel deriva dall'interruzione del problema: "un'assiomatizzazione completa, coerente e sana di tutte le affermazioni sui numeri naturali è irrealizzabile" dove "il suono" dovrebbe essere l'indebolimento. So che una teoria è coerente se non si può ricavare una contraddizione, e una teoria completa sui numeri naturali sembrerebbe significare che tutte le affermazioni vere sui numeri naturali possono essere derivate in essa; So che Gödel afferma che una tale teoria non esiste, ma non riesco a vedere come una bestia così ipotetica possa non riuscire a essere sana, vale a dire, anche derivare dichiarazioni che sono false per i numeri naturali: la negazione di una tale affermazione sarebbe vera e quindi per completezza anche derivabili, il che contraddirebbe la coerenza.

Gradirei qualsiasi chiarimento su uno di questi punti.


Hai un problema concettuale: decidibilità algoritmica (problema di Halting) e derivabilità resp. la provabilità (logica) sono due concetti molto diversi; sembri usare la "decidibilità" per entrambi.
Raffaello

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@Raphael: Sono ben consapevole che esiste una grande differenza concettuale tra le affermazioni del teorema di incompletezza e l'indecidibilità del problema di arresto. Tuttavia la forma negativa di incompletezza: un sistema formale sufficientemente potente non può essere coerente e completo, si traduce in una dichiarazione di indecidibilità: poiché l'insieme dei teoremi deducibili in un sistema formale è semi-decidibile per costruzione, la completezza renderebbe l'insieme di non -le teoremi anche semi-decidibili (come negazioni dei teoremi, assumendo coerenza, oppure come l'insieme vuoto), quindi decidibili.
Marc van Leeuwen,

sì, in effetti le due prove sono concettualmente estremamente simili e in effetti un modo per vederlo è che Godel ha costruito una sorta di logica completa turing in aritmetica. ci sono molti libri che sottolineano questa equivalenza concettuale. ad es. Godel Escher Bach di hofstadter o Emperors New Mind di penrose ....
vzn

Un po 'imparentato ... Ho sempre frainteso la parabola di Hofstadter in cui la tartaruga continua a infrangere il giradischi di Achille, mentre si applicava al problema dell'arresto. In effetti, ho trovato questo thread cercando (ri) la mia confusione. Sento ancora che la parabel si traduce in modo più naturale e diretto al problema dell'arresto, ma questo è senza una profonda comprensione di entrambi i teoremi.
Micans,

Risposte:


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Ti consiglio di controllare il post sul blog di Scott Aaronson su una prova del Teorema dell'Incompletità tramite le macchine di Turing e il Teorema di Rosser. La sua prova del teorema di incompletezza è estremamente semplice e facile da seguire.


Grazie per questo link, accetterò per ora in quanto si avvicina di più alle mie preoccupazioni. All'inizio ero piuttosto turbato: ho frainteso "completo" nel senso che "ogni verità è un derivabile" (un contrario al suono) piuttosto che "se non è derivabile, allora è" (un contrario al coerente). Scott Aaronson sembra credere che il significato di "completo" sia evidente al pubblico, sebbene non sembri assumere un pubblico logico (cosa che certamente non lo sono); con il mio fraintendimento ciò che scrive non ha senso. Avendo trovato il mio errore, trovo il post piuttosto interessante. P¬P
Marc van Leeuwen,

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C'è un'altra prova in una vena simile nel libro The Nature of Computation ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) nel capitolo sulla calcolabilità. Lì, gli autori evitano l'uso del teorema di Rosser e assumono solo l'esistenza di macchine universali (cioè la tesi di Church-Turing). Il riferimento esatto è sezione 7.2.5 pagina 238.
Marcos Villagra

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La risposta di Neel Krishnaswami al problema di Halting, insiemi incontestabili: prove matematiche comuni? su CSTheory punta a riferimenti che collegano i risultati di cui sopra sotto l'egida della teoria delle categorie.


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questo documento non è menzionato nella risposta cstheory (ma è nei commenti del post sul blog di Andrej Bauer dalla risposta), ma è probabilmente anche una buona panoramica.
Artem Kaznatcheev,

Questa è una connessione basata sulla somiglianza delle prove, piuttosto che sulle implicazioni tra i risultati, non è vero?
Raffaello

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Bene, l'opinione nell'articolo a cui si collega Artem è che queste sono tutte manifestazioni di un singolo fatto teorico di categoria.
Suresh,

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(Questo dovrebbe essere un commento alla risposta di Suresh, ma è semplicemente troppo lungo per adattarsi lì. Quindi mi scuso in anticipo che non risponda davvero alla domanda di Marc.)

Trovo la risposta di Neel Arresto problema, insiemi incontestabili: comune prova matematica? sul post sul blog di CSTheory e Andrej Bauer insoddisfacenti per due motivi.

In primo luogo, di solito non abbiamo bisogno di tutto il gergo teorico di categoria per spiegare la connessione. L'esistenza di un linguaggio indecidibile è implicita nel Teorema di Cantor , che ha una prova diagonale molto elementare. Il motivo è che la serie di programmi è equinvia a . D'altra parte, poiché ogni lingua può essere vista come un sottoinsieme di , e quindi l'insieme di tutte le lingue è equineo a . Secondo il Teorema di Cantor, non vi è alcuna eccezione da a , e quindi sappiamo che deve esistere un linguaggio indecidibile.NNP(N)NP(N)

In secondo luogo, la prova di cui sopra è insoddisfacente poiché vogliamo anche "vedere" l'esempio di un linguaggio ragionevole e indecidibile. La dimostrazione di cui sopra può essere vista come un argomento di conteggio e quindi non "costruttiva" in tal senso. Turing ha scoperto il problema dell'arresto come esempio.


+1 Questo è un approccio più semplice, ma dubito ancora di questo: "e quindi sappiamo che deve esistere un linguaggio indecidibile". Potresti specificare la differenza tra linguaggio indecidibile e problema indecidibile?
Hernan_eche,

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@Hernan_e Non c'è davvero "differenza". Un problema decisionale nella teoria del calcolo può essere definito come qualsiasi domanda sì o no sul set di input . Pertanto, possiamo assegnare ogni problema di decisione all'insieme di input per i quali la risposta è sì. Il set è la lingua definita dal problema . xΣPLΣLP
Dai,

Capito, sei molto chiaro, sono d'accordo che l'argomento del conteggio non è del tutto soddisfacente, ma anche senza l'esempio, penso che forse la parte peggiore sia che è infinito, quindi non c'è grande sorpresa nel dire che lì sono lingue indecide, sarebbe bello estendere (meglio dire per limitare ) il ragionamento per un caso finito, (non sto chiedendo un esempio di un problema indecidibile), ma una prova simile (o disproof) essere valida per un set finito di input ammessi invece diLΣN
Hernan_eche

Ma l'argomentazione diagonale è davvero una prova costruttiva. Insieme alla tua riduzione al Teorema di Cantor, il linguaggio indecidibile è l'insieme di tutte le macchine la cui codifica non è nella sua lingua accettata.
Willard Zhan,

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Le macchine Universal Turing sono utili per alcuni argomenti diagonali, ad esempio nella separazione di alcune classi nelle gerarchie di complessità temporale o spaziale : la macchina universale viene utilizzata per dimostrare che esiste un problema decisionale in ma non in . (I limiti migliori sono disponibili nell'articolo WP)DTIME(f(n)3)DTIME(f(n/2))

Tuttavia, per essere onesti, se guardi da vicino, la macchina universale non viene utilizzata nella parte `negativa ': la dimostrazione suppone che ci sia una macchina che risolverebbe una versione limitata del problema di arresto e quindi procede a costruire . (Nessuna macchina universale qui) La macchina universale viene utilizzata per risolvere la versione a tempo limitato del problema di arresto in un periodo di tempo maggiore.K¬KK


Per f (n) sufficientemente non costante.
Yonatan N,

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"Se non per il problema dell'arresto, le macchine universali di Turing sono utili in qualsiasi argomento diagonale?"

Il teorema di Rice è essenzialmente la generalizzazione della diagonalizzazione contro le macchine di Turing. Mostra che non esiste assolutamente alcuna proprietà sulle macchine Turing che puoi decidere per tutte le macchine Turing con un singolo algoritmo a meno che quella proprietà non valga per tutte le macchine Turing o nessuna macchina Turing. Notare il fatto che la proprietà che detiene tutte le macchine Turing o nessuna macchina Turing impedisce all'oggetto diagonalizzazione di essere una macchina Turing, quindi non può essere in primo luogo nell'elenco per contraddire la decisione sulla proprietà. In effetti questo è l' unicocosa che impedisce all'oggetto diagonalizzazione di essere nella lista e contraddire la decisione sulla proprietà, che è tutte le proprietà delle macchine di Turing sono indecidibili. Questo modello dell'oggetto di diagonalizzazione che deve essere un membro dell'elenco di cose su cui stai cercando di prendere una decisione, e tuttavia negare la decisione, è l'astrazione critica che il teorema di Lawvere (indicato nel collegamento nella risposta di Suresh) acquisisce al fine di generalizzare pienamente la nozione di diagonalizzazione. Ora, poiché sappiamo per esperienza che quasi ogni diagonalizzazione sembra avere la proprietà comune di portare a un risultato estremamente importante nella logica matematica, ciò rende il teorema di Lawvere lo strumento piuttosto interessante.

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