Ridurre al minimo gli automi finiti deterministici senza stati accettanti

8

Ho un automa finito senza stati finali / accettanti, quindi F è vuoto. Come posso minimizzarlo?

Ho avuto questo su un test e non sapevo come affrontare il problema perché l'automa non aveva stati di accettazione. Un singolo stato iniziale con tutte le transizioni in se stesso è la risposta corretta?

automata finite-automata

— crs12decoder
fonte

5

Sì. Alcune risposte sono così semplici.

— Luke Mathieson,

non è quindi un trasduttore.

— Grijesh Chauhan,

@GrijeshChauhan In quale punto della domanda hai trovato il termine "trasduttore"?

— Raffaello

6

La tua ipotesi è corretta e puoi vederla un po 'più formalmente come segue. Permettere $\mathcal{A} = (Q, A, \cdot, q_0, F)$ essere un DFA. La congruenza di Nerode $\sim$ su $Q$ è definito come segue:

p \sim q if and only if, for every word u \in A^{*}, p \cdot u \in F ⟺ q \cdot u \in F

$p \sim q \text{ if and only if, for every word $u \in A^*$, }\ p \cdot u \in F \iff q \cdot u \in F$ L'insieme di stati dell'automa minimo di

A

$\mathcal{A}$ è

Q / \sim

$Q/{\sim}$ . Ora se

F

$F$ è l'insieme vuoto, tutti gli stati di

Q

$Q$ siamo

\sim

$\sim$ -equivalente e quindi

Q / \sim

$Q/{\sim}$ ha solo un elemento, diciamo

Q / \sim = {1}

$Q/{\sim} = \{1\}$ . Non hai scelta per le transizioni e quindi

1 \cdot a = 1

$1 \cdot a = 1$ per ogni lettera

a

$a$ . Finalmente

1

$1$ è lo stato iniziale, ma non esiste uno stato finale.

— J.-E. perno
fonte

2

Non è assolutamente necessario utilizzare la congruenza di Nerode per dimostrare che un automa a uno stato è minimo per la lingua vuota. È abbastanza formale dire che un automa senza stati accettanti accetta

\emptyset

$\emptyset$ e che un automa a uno stato che accetta una determinata lingua deve essere minimo perché ogni automa deve avere almeno uno stato.

— David Richerby,

1

@ David-Richard, lo so perfettamente. Ho appena detto che questo risultato corrisponde alla definizione standard fornita nei corsi standard.

— J.-E.

7

Un automa finito senza stati finali indica la lingua L = $\emptyset$ . Per minimizzare un DFA minimizziamo il numero di stati e la lingua indicata deve essere la stessa. Per definizione di DFA dobbiamo avere uno stato iniziale $q_0$ così $| Q | \geq 1$ e come dici tu dobbiamo includere la funzione di transizione con tutte le transizioni in $q_0$ (perché la creazione di stati morti è controproducente).

— Renato Sanhueza
fonte